9.設(shè)向量$\vec a=({2,sinα})$,$\vec b=({cosα,-1})$,且$\vec a⊥\vec b$.求:
(1)tanα;
(2)$\frac{sinα+cosα}{sinα-cosα}$;
(3)sin2α+sinαcosα.

分析 解法一:(1)由a⊥b,得2cosα-sinα=0,即可解得tanα.
(2)利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式轉(zhuǎn)化后,由(1)即可代入得解.
(3)利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式轉(zhuǎn)化后,由(1)即可代入得解.
解法二:(1)由a⊥b,得2cosα-sinα=0即可解得tanα.
(2)由$\left\{\begin{array}{l}tanα=2\\{sin^2}α+{cos^2}α=1\end{array}\right.$,解得sinα,cosα的值,代入即可得解.
(3)由(2),代入數(shù)值得${sin^2}α+sinαcosα=\frac{6}{5}$.

解答 (本題滿分為14分)
解:解法一:(1)由a⊥b,得2cosα-sinα=0,…(2分)
解得tanα=2.   …(4分)
(2)$\frac{sinα+cosα}{sinα-cosα}=\frac{tanα+1}{tanα-1}$…(7分)
=$\frac{2+1}{2-1}=3$.   …(9分)
(3)${sin^2}α+sinαcosα=\frac{{{{sin}^2}α+sinαcosα}}{{{{sin}^2}α+{{cos}^2}α}}$…(12分)
=$\frac{{{{tan}^2}α+tanα}}{{{{tan}^2}α+1}}$=$\frac{4+2}{4+1}=\frac{6}{5}$.  …(14分)
解法二:(1)由a⊥b,得2cosα-sinα=0,…(2分)
解得tanα=2.       …(4分)
(2)由$\left\{\begin{array}{l}tanα=2\\{sin^2}α+{cos^2}α=1\end{array}\right.$,解得$\left\{\begin{array}{l}sinα=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}\\ cosα=\frac{{\sqrt{5}}}{5}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}sinα=-\frac{{2\sqrt{5}}}{5}\\ cosα=-\frac{{\sqrt{5}}}{5}.\end{array}\right.$.…(8分)
將數(shù)值代入得$\frac{sinα+cosα}{sinα-cosα}$=3.    …(11分)
(3)由(2),代入數(shù)值得${sin^2}α+sinαcosα=\frac{6}{5}$. …(14分)

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算的應(yīng)用,考查了轉(zhuǎn)換思想,屬于基礎(chǔ)題.

練習(xí)冊系列答案
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