Question

1．在數列{a_n}中，a₁=1，S_n+1=4a_n+2，則a₂₀₁₃的值為（　�。�

• A． 3019×2²⁰¹²
• B． 3019×2²⁰¹³
• C． 3018×2²⁰¹²
• D． 無法確定

Answer 1

分析 由已知得a₂=3a₁+2=5，a₁+a₂+…+a_n+1=4a_n+2，a₁+a₂+…+a_n=4a_n-1+2，兩式相減得到{a_n-2a_n-1}是等比數列，公比q=2，從而得到{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}是等差數列，公差d=$\frac{3}{4}$，n≥2，由此求出a_n=（3n-1）•2^n-2，從而能求出結果．

解答 解：∵在數列{a_n}中，a₁=1，S_n+1=4a_n+2，
∴S₂=4a₁+2=a₁+a₂，∴a₂=3a₁+2=5，
a₁+a₂+…+a_n+1=4a_n+2，①
a₁+a₂+…+a_n=4a_n-1+2，②
①-②，得：a_n+1=4a_n-4a_n-1，
a_n+1-2a_n=2（a_n-2a_n-1），
∴{a_n-2a_n-1}是等比數列，公比q=2，
a_n-2a_n-1=2^n-2•（a₂-2a₁）=3•2^n-2，
∴$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$-$\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n-1}}$=$\frac{3}{4}$，
∴{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}是等差數列，公差d=$\frac{3}{4}$，n≥2，
∴$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}-\frac{{a}_{2}}{{2}^{2}}$=$\frac{3（n-2）}{4}$，
∴$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{3n-1}{4}$，∴a_n=（3n-1）•2^n-2，
∴a₂₀₁₃=（3×2013-1）•2²⁰¹¹=3019×2²⁰¹²．
故選：A．

點評 本題考查數列的第2013項的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意遞推公式和構造法的合理運用．