Question

12．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，使角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合．已知點(diǎn)P（x，y）
是角θ終邊上一點(diǎn)，|OP|=r（r＞0），定義f（θ）=$\frac{x-y}{r}$．對(duì)于下列說(shuō)法：
①函數(shù)f（θ）的值域是$[-\sqrt{2}，\sqrt{2}]$；
②函數(shù)f（θ）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；
③函數(shù)f（θ）的圖象關(guān)于直線θ=$\frac{3π}{4}$對(duì)稱；
④函數(shù)f（θ）是周期函數(shù)，其最小正周期為2π；
⑤函數(shù)f（θ）的單調(diào)遞減區(qū)間是[2kπ-$\frac{3π}{4}$，2kπ+$\frac{π}{4}$]，k∈Z．
其中正確的是①③④．（填上所有正確命題的序號(hào)）

Answer 1

分析 由題意可得f（θ）=$\frac{x-y}{r}$，再利用函數(shù)的周期性、單調(diào)性的定義，函數(shù)的圖象的對(duì)稱性得出結(jié)論．

解答 解：由已知點(diǎn)P（x，y）是角θ終邊上一點(diǎn)，|OP|=r=$\sqrt{{x}^{2}{+y}^{2}}$（r＞0），
定義f（θ）=$\frac{x-y}{r}$=$\frac{x-y}{\sqrt{{x}^{2}{+y}^{2}}}$，當(dāng)x=-y＞0時(shí)，函數(shù)f（θ）取最大值為$\frac{2x}{\sqrt{2}x}$=$\sqrt{2}$；
當(dāng)x=-y＜0時(shí)，f（θ）取最小值為 $\frac{2x}{-\sqrt{2}x}$=-$\sqrt{2}$，
可得f（θ）的值域是$[-\sqrt{2}，\sqrt{2}]$，故①正確．
由于-θ角的終邊上對(duì)應(yīng)點(diǎn)為P′（x，-y），|OP′|=r，∴f（-θ）=$\frac{x+y}{r}$，故 f（-θ）≠f（θ），
故f（θ）不是奇函數(shù)，故函數(shù)f（θ）的圖象不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故排除②．
由于點(diǎn)P（x，y）關(guān)于直線θ=$\frac{3π}{4}$（即y=-x）的對(duì)稱點(diǎn)為Q（-y，-x），故f（$\frac{3π}{2}$-θ）=$\frac{-y+x}{r}$=f（θ），
故函數(shù)f（θ）的圖象關(guān)于直線θ=$\frac{3π}{4}$對(duì)稱，故③正確．
④由于角θ和角2π+θ的終邊相同，故函數(shù)f（θ）是周期函數(shù)，其最小正周期為2π，故④正確．
⑤在區(qū)間[-$\frac{3π}{4}$，$\frac{3π}{2}$]上，x不斷增大，同時(shí)y值不斷減小，r始終不變，故f（θ）=$\frac{x-y}{r}$不斷增大，故f（θ）=$\frac{x-y}{r}$是增函數(shù)，
故函數(shù)f（θ）在區(qū)間[2kπ-$\frac{3π}{4}$，2kπ+$\frac{π}{4}$]，k∈Z上不是減函數(shù)，故⑤不對(duì)，
故答案為：①③④．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查新定義，任意角的三角函數(shù)的定義，函數(shù)的周期性、單調(diào)性的定義，函數(shù)的圖象的對(duì)稱性，屬于中檔題．