Question

6．已知函數(shù)f（x）=${（\frac{1}{2}）}^{|x|}$-$\frac{1}{1+lo{g}_{\frac{1}{2}}（1+|x|）}$，使得f（x）＞f（2x-1）成立的x的取值范圍是（-∞，-1）∪（-1，$\frac{1}{3}$）∪（1，+∞）．

Answer 1

分析 結(jié)合指數(shù)函數(shù)以及對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，問題轉(zhuǎn)化為|x|＜|2x-1|，解出即可．

解答 解：∵f（x）=${（\frac{1}{2}）}^{|x|}$-$\frac{1}{1+lo{g}_{\frac{1}{2}}（1+|x|）}$，
∴f（-x）=f（x），f（x）是偶函數(shù)，
x＞0時：f（x）=${（\frac{1}{2}）}^{x}$-$\frac{1}{1{+log}_{\frac{1}{2}}^{（1+x）}}$，
顯然x＞0時，函數(shù)f（x）是減函數(shù)，
故x＜0時，函數(shù)f（x）是增函數(shù)，
若f（x）＞f（2x-1），則|x|＜|2x-1|，
∴x²＜（2x-1）²，∴x＞1或x＜$\frac{1}{3}$，
∵x=-1時，1+${log}_{\frac{1}{2}}^{2}$=0，故x≠-1，
故答案為：（-∞，-1）∪（-1，$\frac{1}{3}$）∪（1，+∞）．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性奇偶性問題，考查對數(shù)函數(shù)以及指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，是一道中檔題．