Question

6．200多年前，10歲的高斯充分利用數(shù)字1，2，3，…，100的“對(duì)稱”特征，給出了計(jì)算1+2+3+…+100的快捷方法．教材示范了根據(jù)高斯算法的啟示推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的過(guò)程．實(shí)事上，高斯算法的依據(jù)是：若函數(shù)f（x）（x∈D）的圖象關(guān)于點(diǎn)P（h，k）對(duì)稱，則f（x）+f（2h-x）=2k對(duì)x∈D恒成立．已知函數(shù)h（x）=$\frac{a^x}{{{a^x}+2}}$的圖象過(guò)點(diǎn)$（{1，\frac{2}{3}}）$．
（1）求a的值；
（2）化簡(jiǎn)$h（0）+h（{\frac{1}{9}}）+h（{\frac{2}{9}}）+…+h（{\frac{8}{9}}）+h（1）$；
（3）設(shè)${a_n}=h（0）+h（{\frac{1}{n}}）+h（{\frac{2}{n}}）+…+h（{\frac{n-1}{n}}）+h（1）$，b_n=$\frac{1}{{4{a_n}•{a_{n+1}}}}$，記數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T(mén)_n，若T_n＜2λa_n+1對(duì)一切n∈N^*恒成立，求λ的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）把點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式求得a值；
（2）結(jié)合h（x）+h（1-x）=1求解；
（3）由h（x）+h（1-x）=1求得a_n，代入b_n=$\frac{1}{{4{a_n}•{a_{n+1}}}}$，利用裂項(xiàng)相消法求得數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T(mén)_n，代入T_n＜2λa_n+1，分離λ，利用基本不等式求得最值得答案．

解答 解：（1）∵函數(shù)h（x）=$\frac{a^x}{{{a^x}+2}}$的圖象過(guò)點(diǎn)$（{1，\frac{2}{3}}）$，
∴$\frac{a}{a+2}=\frac{2}{3}$，解得a=4；
（2）由（1）得，h（x）=$\frac{{4}^{x}}{{4}^{x}+2}$，
∵h(yuǎn)（x）+h（1-x）=$\frac{{4}^{x}}{{4}^{x}+2}+\frac{{4}^{1-x}}{{4}^{1-x}+2}=\frac{{4}^{x}}{{4}^{x}+2}+\frac{\frac{4}{{4}^{x}}}{\frac{4}{{4}^{x}}+2}$=$\frac{{4}^{x}}{{4}^{x}+2}+\frac{2}{{4}^{x}+2}=1$，
∴$h（0）+h（{\frac{1}{9}}）+h（{\frac{2}{9}}）+…+h（{\frac{8}{9}}）+h（1）$=$[h（0）+h（1）]+[h（\frac{1}{9}）+h（\frac{8}{9}）]+…+[h（\frac{4}{9}）+h（\frac{5}{9}）]=5$；
（3）${a_n}=h（0）+h（{\frac{1}{n}}）+h（{\frac{2}{n}}）+…+h（{\frac{n-1}{n}}）+h（1）$
=$[h（0）+h（1）]+[h（\frac{1}{n}）+h（\frac{n-1}{n}）]+…+[h（\frac{n-1}{2n}）]+h（\frac{n+1}{2n}）$=$\frac{n+1}{2}$，
則b_n=$\frac{1}{{4{a_n}•{a_{n+1}}}}$=$\frac{1}{4×\frac{n+1}{2}×\frac{n+2}{2}}=\frac{1}{（n+1）（n+2）}=\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$，
∴${T}_{n}=_{1}+_{2}+…+_{n}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+…+\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$=$\frac{1}{2}-\frac{1}{n+2}=\frac{n}{2（n+2）}$，
由T_n＜2λa_n+1對(duì)一切n∈N^*恒成立，得
$\frac{n}{2（n+2）}＜2λ×\frac{n+2}{2}$，即$λ＞\frac{n}{2（n+2）^{2}}=\frac{n}{2{n}^{2}+8n+8}=\frac{1}{2n+\frac{8}{n}+8}$對(duì)一切n∈N^*恒成立，
∵$\frac{1}{2n+\frac{8}{n}+8}≤\frac{1}{2\sqrt{2n•\frac{8}{n}}+8}=\frac{1}{16}$（當(dāng)且僅當(dāng)n=2時(shí)等號(hào)成立），
∴$λ＞\frac{1}{16}$．
故λ的取值范圍是$（\frac{1}{16}，+∞）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列遞推式，考查了數(shù)列的函數(shù)特性，訓(xùn)練了裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和，明確h（x）+h（1-x）=1是解答該題的關(guān)鍵，是中檔題．