17．在面積為$\sqrt{15}$的△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且c+bsinAtanB=4a+bcosA，sinA=2sinC，則a+c=6．

分析 將切化弦，利用兩角和差的余弦公式化簡，結(jié)合a=2c和余弦定理得出b，c的關(guān)系，利用三角形的面積列方程解出三角形的邊長．

解答 解：∵c+bsinAtanB=4a+bcosA，∴ccosB+bsinAsinB=4acosB+bcosAcosB，
∴（c-4a）cosB=b（cosAcosB-sinAsinB）=bcos（A+B）=-bcosC．
∵sinA=2sinC，∴a=2c，
∴-7ccosB=-bcosC．
∴7c×$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$=b×$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$，即3a2+4c2-4b2=0，
∵a=2c，∴12c2+4c2=4b2，∴b=2c．
∴a=b=2c．
∴△ABC是等腰三角形，設(shè)AB邊上的高為h，則h=$\sqrt{{a}^{2}-\frac{{c}^{2}}{4}}$=$\frac{\sqrt{15}}{2}c$．
∴S=$\frac{1}{2}ch$=$\frac{1}{2}×c×\frac{\sqrt{15}}{2}c$=$\sqrt{15}$．解得c=2．
∴a+c=3c=6．
故答案為6．

點評 本題考查了正余弦定理，三角函數(shù)的恒等變換，屬于中檔題．

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