Question

4．設f（x）是定義在R上的增函數(shù)，令g（x）=f（x）-f（2015-x）
（1）求證：g（x）+g（2015-x）是定值；
（2）判斷g（x）在R上的單調(diào)性，并證明；
（3）若g（x₁）+g（x₂）＞0，求證：x₁+x₂＞2015．

Answer 1

分析 （1）可根據(jù)g（x）=f（x）-f（2015-x）求出g（2015-x），從而便可得出g（x）+g（2015-x）=0，這便得出g（x）+g（2015-x）為定值；
（2）根據(jù)f（x）為增函數(shù)便可看出g（x）在R上單調(diào)遞增，根據(jù)增函數(shù)的定義，設任意的x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，然后根據(jù)f（x）為R上的增函數(shù)便可得出f（x₁）＜f（x₂），f（2015-x₂）＜f（2015-x₁），從而便可得出g（x₁）＜g（x₂），這便說明g（x）在R上單調(diào)遞增；
（3）可由（1）得到g（x₁）=-g（2015-x₁），從而便可以得到g（x₂）＞g（2015-x₁），然后根據(jù)g（x）在R上為增函數(shù)便可得出x₁+x₂＞2015．

解答 解：（1）證明：g（x）+g（2015-x）=f（x）-f（2015-x）+f（2015-x）-f（x）=0；
∴g（x）+g（2015-x）為定值；
（2）g（x）在R上單調(diào)遞增，證明如下：
設x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂；
∵f（x）在R上為增函數(shù)；
∴f（x₁）＜f（x₂）；
又2015-x₂＜2015-x₁；
∴f（2015-x₂）＜f（2015-x₁）；
∴-f（2015-x₁）＜-f（2015-x₂）；
∴f（x₁）-f（2015-x₁）＜f（x₂）-f（2015-x₂）；
即g（x₁）＜g（x₂）；
∴g（x）在R上單調(diào)遞增；
（3）證明：根據(jù)（1）知g（x₁）=-g（2015-x₁）；
∴由g（x₁）+g（x₂）＞0得，-g（2015-x₁）+g（x₂）＞0；
∴g（x₂）＞g（2015-x₁）；
由（2）知g（x）在R上為增函數(shù)；
∴x₂＞2015-x₁；
∴x₁+x₂＞2015．

點評 考查已知f（x）求f[g（x）]，增函數(shù)的定義，以及根據(jù)增函數(shù)的定義證明一個函數(shù)為增函數(shù)的方法和過程，以及不等式的性質(zhì)．