Question

7．已知sinα=$\frac{1}{5}$+cosα，且$α∈（0，\frac{π}{2}）$，則$\frac{{\sqrt{2}cos（α+\frac{π}{4}）}}{cos2α}$的值為$\frac{5}{7}$．

Answer 1

分析 把已知的等式變形后兩邊平方，求出sinαcosα=$\frac{12}{25}$，然后求得sinα+cosα，把要求值的代數(shù)式化為含有sinα+cosα的代數(shù)式得答案．

解答 解：由sinα=$\frac{1}{5}$+cosα，得$sinα-cosα=\frac{1}{5}$  ①，
兩邊平方可得sinαcosα=$\frac{12}{25}$．
∴sinα+cosα=$\sqrt{1+2sinαcosα}$=$\sqrt{1+\frac{24}{25}}=\frac{7}{5}$  ②，
∴$\frac{{\sqrt{2}cos（α+\frac{π}{4}）}}{cos2α}$=$\frac{\sqrt{2}（\frac{\sqrt{2}}{2}cosα-\frac{\sqrt{2}}{2}sinα）}{co{s}^{2}α-si{n}^{2}α}$=$\frac{1}{sinα+cosα}=\frac{1}{\frac{7}{5}}=\frac{5}{7}$．
故答案為：$\frac{5}{7}$．

點評 本題考查三角函數(shù)的化簡與求值，考查了倍角公式的應用，是中檔題．