Question

4．在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點，A（2，0），B（0，2），動點P滿足$|\overrightarrow{AP}|$=1，則$|\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OB}|$的最大值是（　　）

• A． $2\sqrt{2}$
• B． $2\sqrt{2}+1$
• C． $2\sqrt{2}+2$
• D． $4\sqrt{2}+1$

Answer 1

分析 設(shè)P為（x，y），由題意和兩點之間的距離公式求出動點P的軌跡方程和軌跡，由向量的坐標(biāo)運算求出$|\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OB}|$的坐標(biāo)，再判斷出$|\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OB}|$的幾何意義，并求出最大值．

解答 解：由$|\overrightarrow{AP}|$=1，得動點P在以A為圓心，半徑為1的圓上，設(shè)P為（x，y），
$|\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OB}|=\sqrt{{x^2}+{{（y+2）}^2}}=\sqrt{{x^2}+{{[y-（-2）]}^2}}$，
∴$|\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OB}|$的最大值為點P到點（0，-2）的最大值，即圓心A到點（0，-2）的距離加半徑，
$|\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OB}{|_{max}}=\sqrt{{2^2}+{{[0-（-2）]}^2}}+1=2\sqrt{2}+1$．
故選：B．

點評 本題考查了向量的坐標(biāo)運算，兩點之間的距離公式，動點的軌跡方程，以及代數(shù)式子的幾何意義，屬于中檔題．