Question

13．已知雙曲線與橢圓$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{25}$=1共焦點，它們的離心率之和為$\frac{14}{5}$，雙曲線的方程應(yīng)是（　�。�

• A． $\frac{{x}^{2}}{12}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1
• B． $\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{12}$=1
• C． $\frac{{y}^{2}}{4}$-$\frac{{x}^{2}}{12}$=1
• D． $\frac{{y}^{2}}{12}$-$\frac{{x}^{2}}{4}$=1

Answer 1

分析 由橢圓方程求出雙曲線的焦點坐標，及橢圓的離心率，結(jié)合題意進一步求出雙曲線的離心率，從而得到雙曲線的實半軸長，再結(jié)合隱含條件求得雙曲線的虛半軸長得答案．

解答 解：由橢圓$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{25}$=1，得a²=25，b²=9，
則c²=a²-b²=16，
∴雙曲線與橢圓的焦點坐標為F₁（0，-4），F(xiàn)₂（0，4），
∴橢圓的離心率為$\frac{4}{5}$，則雙曲線的離心率為$\frac{14}{5}-\frac{4}{5}=2$．
設(shè)雙曲線的實半軸長為m，則$\frac{4}{m}=2$，得m=2，
則虛半軸長n=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}=2\sqrt{3}$，
∴雙曲線的方程是$\frac{{y}^{2}}{4}-\frac{{x}^{2}}{12}=1$．
故選：C．

點評 本題考查雙曲線方程的求法，考查了橢圓與雙曲線的簡單性質(zhì)，是中檔題．