Question

7．設(shè)橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F₁、F₂，P是橢圓上一點，|PF₁|=2|PF₂|，∠F₁PF₂=$\frac{π}{3}$，則橢圓離心率的值為（　�。�

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• D． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$

Answer 1

分析 由題意可設(shè)|PF₁|=2m，|PF₂|=m，得到a=$\frac{3}{2}m$，再由余弦定理得到c=$\frac{\sqrt{3}}{2}m$，則橢圓離心率可求．

解答 解：如圖，
由題意可設(shè)|PF₁|=2m，|PF₂|=m，
∵∠F₁PF₂=$\frac{π}{3}$，∴$|{F}_{1}{F}_{2}{|}^{2}=4{m}^{2}+{m}^{2}-2•2m•m•cos\frac{π}{3}$=5m²-2m²=3m²，
則|F₁F₂|=$\sqrt{3}m$．
則由橢圓的定義可得3m=2a，即a=$\frac{3}{2}m$，
又2c=$\sqrt{3}m$，c=$\frac{\sqrt{3}}{2}m$，
∴$e=\frac{c}{a}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}m}{\frac{3}{2}m}=\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故選：B．

點評 本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，在解決與焦點三角形有關(guān)的問題時，常采用橢圓定義及余弦定理求解，是中檔題．