Question

4．已知數列{a_n}的通項a_n=n²-11n+10，則a_n的最小值是-20，S_n的最小值是-120．

Answer 1

分析 a_n=n²-11n+10=$（n-\frac{11}{2}）^{2}$-$\frac{81}{4}$，利用二次函數的單調性可得當n=5或6時，a_n取得最小值．由a_n=n²-11n+10≥0，解得n≥10或n=1．當n=9或10時，S_n取得最小值，可得S_n=（1²+2²+…+n²）-11（1+2+…+n）+10n=$\frac{n（n+1）（2n+1）}{6}$-$\frac{11n（n+1）}{2}$+10n．即可得出．

解答 解：a_n=n²-11n+10=$（n-\frac{11}{2}）^{2}$-$\frac{81}{4}$，
∴當n=5或6時，a_n取得最小值-20．
由a_n=n²-11n+10≥0，解得n≥10或n=1．
∴當n=9或10時，S_n取得最小值，
S_n=（1²+2²+…+n²）-11（1+2+…+n）+10n
=$\frac{n（n+1）（2n+1）}{6}$-$\frac{11n（n+1）}{2}$+10n．
S₉=S₁₀=$\frac{9×10×19}{6}$-$\frac{11×9×10}{2}$+10×9
=-120．
故答案分別為：-20；-120．

點評 本題考查了二次函數的單調性、等差數列的前n項和公式、（1²+2²+…+n²）=$\frac{n（n+1）（2n+1）}{6}$，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．