Question

已知f（x）為冪函數(shù)，且過點（2，

2

）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若方程f²（x）-af（x）-a+1=0有兩個不相等實數(shù)根，求實數(shù)a的范圍．

Answer 1

考點：冪函數(shù)的概念、解析式、定義域、值域

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）設(shè)f（x）=x^α（α為常數(shù)），把點（2，

2

）代入即可得出．
（2）方程f²（x）-af（x）-a+1=0化為x-a

x

-a+1=0，令

x

=t≥0，則g（t）=t²-at-a+1=0，由于上述方程有兩個不相等實數(shù)根，可得

△=a2-4(1-a)≥0 a＞0 1-a≥0

，解得即可．

解答： 解：（1）設(shè)f（x）=x^α（α為常數(shù)），
∵

2

=xα，解得α=

1

2

，
∴f（x）=

x

（x≥0）．
（2）方程f²（x）-af（x）-a+1=0化為x-a

x

-a+1=0，
令

x

=t≥0，
則g（t）=t²-at-a+1=0，
由于上述方程有兩個不相等實數(shù)根，
∴

△=a2-4(1-a)≥0 a＞0 1-a≥0

，解得2

2

-2≤a≤1．
∴實數(shù)a的范圍是2

2

-2≤a≤1．

點評：本題考查了冪函數(shù)的定義、一元二次方程與一元二次不等式的解法、“換元法”，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．