Question

12．某巧克力公司為了推廣其品牌，邀請顧客玩從盒中抽取巧克力的游戲．現有A、B兩個盒子，其中A盒中裝有3個牛奶巧克力和2個酒心巧克力，B盒中裝有2個牛奶巧克力和2個酒心巧克力，其中兩種巧克力的大小和形狀相同，某顧客從A、B兩盒中各任取1個巧克力，抽到牛奶巧克力得2分，抽到酒心巧克力得3分，游戲結束后可根據分數獲得相應獎品．
（1）求該顧客取出的巧克力中至多有1個數酒心巧克力的概率；
（2）記X為該顧客的最后得分，求X的分布列及數學期望．

Answer 1

分析 （1）求出該顧客取出的巧克力中至多有1個數酒心巧克力對立事件的概率，即可求得結論；
（2）確定X可能取值，求出相應的概率，即可得到分布列，從而可求X的數學期望．

解答 解：（1）記“至多有1個數酒心巧克力”為事件M，則
P（M）=1-$\frac{{C}_{2}^{1}{C}_{2}^{1}}{{C}_{5}^{1}{C}_{4}^{1}}$=$\frac{4}{5}$；
（2）X的可能取值為4，5，6，則
P（X=4）=$\frac{{C}_{3}^{1}{C}_{2}^{1}}{{C}_{5}^{1}{C}_{4}^{1}}$=$\frac{3}{10}$，P（X=5）=$\frac{{C}_{3}^{1}{C}_{2}^{1}}{{C}_{5}^{1}{C}_{4}^{1}}$+$\frac{{C}_{2}^{1}{C}_{2}^{1}}{{C}_{5}^{1}{C}_{4}^{1}}$=$\frac{1}{2}$，P（X=6）=$\frac{{C}_{2}^{1}{C}_{2}^{1}}{{C}_{5}^{1}{C}_{4}^{1}}$=$\frac{1}{5}$，
故X的分布列為：

X	4	5	6
P	$\frac{3}{10}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{5}$

所以X的數學期望E（X）=4×$\frac{3}{10}$+5×$\frac{1}{2}$+6×$\frac{1}{5}$=$\frac{49}{10}$．

點評 本題考查對立事件的概率，考查離散型隨機變量的分布列與數學期望，解題的關鍵是確定變量的取值，求出相應的概率．