Question

17．已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c，其中a＞0
（1）若方程f（x）+2x=0有兩個(gè)實(shí)根x₁=1，x₂=3，且方程f（x）+6a=0有兩個(gè)相等的根，求f（x）的解析式； 
（2）若f（x）的圖象與x軸交于A（-3，0）B（m，0）兩點(diǎn)，且當(dāng)-1≤x≤0時(shí)，f（x）≤0恒成立．求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)不等式f（x）＞-2x的解集為（1，3）得出x=1和x=3是方程ax²+（b+2）x+c=0（a＜0）的兩根列出關(guān)于a，b的等式再根據(jù)方程f（x）+6a=0有兩個(gè)相等的實(shí)根得到：△=0求得a值，從而得到f（x）的解析式；
（2）問題轉(zhuǎn)化為只需[-1，0]?[-3，m]成立即可．

解答 解：（1）∵方程f（x）+2x=0有兩個(gè)實(shí)根x₁=1，x₂=3，
∴x=1和x=3是方程ax²+（b+2）x+c=0（a＞0）的兩根
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{b+2}{a}=-4}\\{\frac{c}{a}=3}\end{array}\right.$，∴b=-4a-2，c=3a
又方程f（x）+6a=0有兩個(gè)相等的實(shí)根
∴△=b²-4a（c+6a）=0
∴4（2a+1）²-4a×9a=0
∴（5a+1）（1-a）=0
∴a=-$\frac{1}{5}$（舍）或a=1，
∴a=1，b=-6，c=3，
∴f（x）=x²-6x+3；
（2）∵f（x）的圖象與x軸交于A（-3，0）B（m，0）兩點(diǎn)，
當(dāng)-1≤x≤0時(shí)，f（x）≤0恒成立，
只需[-1，0]?[-3，m]，
∴m≥0．

點(diǎn)評(píng) 本小題主要考查函數(shù)的最值及其幾何意義、函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用，考查運(yùn)算求解能力，與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題