Question

2．武漢市某足球俱樂部2014年1月份安排4次體能測(cè)試，規(guī)定：按順序測(cè)試，一旦測(cè)試合格就不必參加以后的測(cè)試，否則4次測(cè)試都要參加．若運(yùn)動(dòng)員小李4次測(cè)試每次合格的概率組成一個(gè)公差為$\frac{1}{8}$的等差數(shù)列，他第一次測(cè)試合格的概率不超過$\frac{1}{2}$，且他直到第二次測(cè)試才合格的概率為$\frac{9}{32}$．
（Ⅰ）求小李第一次參加測(cè)試就合格的概率P；
（Ⅱ）求小李1月份參加測(cè)試的次數(shù)ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）小李獨(dú)立參加每次考核合格的概率依次組成一個(gè)公差為$\frac{1}{8}$的等差數(shù)列，他直到第二次考核才合格表示他第一次不合格第二次才合格，這兩個(gè)事件是相互獨(dú)立的，寫出概率的關(guān)系式，列出方程，得到結(jié)果；
（2）小李參加考核的次數(shù)ξ，ξ的可能取值是1，2，3，4，小李四次考核每次合格的概率依次為$\frac{1}{4}$，$\frac{3}{8}$，$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{8}$，根據(jù)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率，得到分布列和期望．

解答 解：（1）設(shè)小李四次測(cè)試合格的概率依次為：a，a+$\frac{1}{8}$，a+$\frac{1}{4}$，a+$\frac{3}{8}$（a≤$\frac{1}{2}$），…（2分）
則（1-a）（a+$\frac{1}{8}$）=$\frac{9}{32}$，即a2-$\frac{7}{8}$a+$\frac{5}{32}$=0，
解得a=$\frac{1}{4}$或a=$\frac{5}{8}$＞$\frac{1}{2}$（舍），…（5分）
所以小李第一次參加測(cè)試就合格的概率為$\frac{1}{4}$；              …（6分）
（2）因?yàn)镻（ξ=1）=$\frac{1}{4}$，P（ξ=2）=$\frac{3}{4}$×$\frac{3}{8}$=$\frac{9}{32}$，P（ξ=3）=$\frac{3}{4}$×$\frac{5}{8}$×$\frac{4}{8}$=$\frac{15}{64}$，
P（ξ=4）=1-P（ξ=1）-P（ξ=2）-P（ξ=3）=$\frac{15}{64}$，…（8分）
則ξ的分布列為

ξ	1	2	3	4
P	$\frac{1}{4}$	$\frac{9}{32}$	$\frac{15}{64}$	$\frac{15}{64}$

…（10分）
所以Eξ=1×$\frac{1}{4}$+2×$\frac{9}{32}$+3×$\frac{15}{64}$+4×$\frac{15}{64}$=$\frac{157}{64}$，
即小李1月份參加測(cè)試的次數(shù)ξ的數(shù)學(xué)期望為$\frac{157}{64}$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，考查相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率，考查利用概率知識(shí)解決實(shí)際問題的能力，屬于中檔題．