Question

1．已知函數(shù)f（x）=|1-2x|-|x-1|
（1）求不等式f（x）＞0的解集；
（2）若對任意x∈R，f（x）＞a恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）轉(zhuǎn)化函數(shù)為分段函數(shù)，把關(guān)于x的不等式f（x）＞0轉(zhuǎn)化為與之等價的三個不等式組，分別求得每個不等式組的解集，再取并集，即得所求．
（2）利用絕對值不等式求得f（x）的最小值，即可求得a的范圍．

解答 解：（1）當(dāng)x＜$\frac{1}{2}$時，不等式f（x）＞0可化為：-x＞0，得x＜0，故x＜0；
當(dāng)$\frac{1}{2}$≤x≤1時，3x-2＞0，得x＞$\frac{2}{3}$，故$\frac{2}{3}$＜x≤1；
當(dāng)x＞1時，x＞0，得x＞1，可得x＞1；
綜上，不等式的解集為：{x|x＜0或x＞$\frac{2}{3}$}．
（2）由（1）f（x）=$\left\{\begin{array}{l}-x，x＜\frac{1}{2}\\ 3x-2，\frac{1}{2}≤x≤1\\ x，x＞1\end{array}\right.$，
可知，f_min（x）=f（$\frac{1}{2}$）=-$\frac{1}{2}$．
若存在x∈R，使得f（x）＞a成立，則實數(shù)a＜-$\frac{1}{2}$，
實數(shù)m的取值范圍：（-∞，-$\frac{1}{2}$）．

點評 本題主要考查絕對值不等式的解法，絕對值不等式，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．