Question

11．如圖，已知AC，BD為圓O的任意兩條直徑，直線AE，CF是圓O所在平面的兩條垂線，且線段AE=CF=$\sqrt{2}$，AC=2．
（Ⅰ）證明AD⊥BE；
（Ⅱ）求多面體EF-ABCD體積的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）證明AD⊥平面ABE，即可證明AD⊥BE；
（Ⅱ）多面體EF-ABCD體積V=V_B-AEFC+V_D-AEFC=2V_B-AEFC，作BM⊥AC交AC于點(diǎn)M，則BM⊥平面AEFC，求出多面體ABCDEF的體積，即可得出結(jié)論．

解答 （Ⅰ）證明：∵BD為圓O的直徑，∴AB⊥AD，
∵直線AE是圓O所在平面的垂線，
∴AD⊥AE，
∵AB∩AE=A，
∴AD⊥平面ABE，
∴AD⊥BE；
（Ⅱ）解：多面體EF-ABCD體積V=V_B-AEFC+V_D-AEFC=2V_B-AEFC．
∵直線AE，CF是圓O所在平面的兩條垂線，
∴AE∥CF，∥AE⊥AC，AF⊥AC．
∵AE=CF=$\sqrt{2}$，∴AEFC為矩形，
∵AC=2，
∴S_AEFC=2$\sqrt{2}$，
作BM⊥AC交AC于點(diǎn)M，則BM⊥平面AEFC，
∴V=2V_B-AEFC=2×$\frac{1}{3}×2\sqrt{2}×BM$≤$\frac{4\sqrt{2}}{3}OB$=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$．
∴多面體EF-ABCD體積的最大值為$\frac{4\sqrt{2}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面垂直，線線垂直，考查體積的計(jì)算，考查學(xué)生分析解決問題的能力，難度中等．