Question

已知函數(shù)f（x）=2sinxcosx+2

3

sin2x-

3

，將y=f（x）的圖象向左平移

π

6

個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，若函數(shù)y=g（x）在[a，b]上至少含有1012個(gè)零點(diǎn)，則b-a的最小值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：根據(jù)函數(shù)圖象平移的公式，得出函數(shù)g（x）的解析式為g（x）=2sin2x+1．由此解g（x）=0得sin2x=-

1

2

，利用正弦函數(shù)的圖象解出x，可見g（x）在每個(gè)周期上恰有兩個(gè)零點(diǎn)，若g（x）在[0，b]上至少含有10個(gè)零點(diǎn)，則b大于或等于g（x）在原點(diǎn)右側(cè)的第10個(gè)零點(diǎn)，由此即可算出b的最小值，可得b-a的最小值．

解答： 解：函數(shù)f（x）=2sinxcosx+2

3

sin2x-

3

=sin2x+-

3

cos2x=2sin（2x-

π

3

），
y=f（x）的圖象向左平移

π

6

個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位，得到函數(shù)y=g（x）=2sin[2（x+

π

6

）-

π

3

]+1
=2sin2x+1的圖象，由題意可得，g（x）在[a，b]上至少含有1012個(gè)零點(diǎn)．
令g（x）=0，得sin2x=-

1

2

，可得2x=2kπ+

7π

6

，或2x=2kπ+

11π

6

，k∈z．
求得x=kπ+

7π

12

，或x=kπ+

11π

12

．
函數(shù)g（x）在每個(gè)周期上恰有兩個(gè)零點(diǎn)，
若y=g（x）在[0，b]上至少含有1012個(gè)零點(diǎn)，則b不小于第1012個(gè)零點(diǎn)的橫坐標(biāo)即可，
故b的最小值為 505π+

11π

12

=

6071π

12

，故b-a的最小值為

6071π

12

-

7π

12

=

1516

3

π，
故答案為：

1516

3

π．

點(diǎn)評(píng)：本題給出三角函數(shù)式滿足的條件，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間并依此求解函數(shù)g（x）在[0，b]上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)的問題．著重考查了二倍角的三角函數(shù)公式、輔助角公式與三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．