Question

18．已知函數(shù)f（x）=cos²x-2sinxcosx-sin²x．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）當(dāng)x∈[0，$\frac{π}{2}$]時(shí)，求f（x）的最小值及取得最小值時(shí)x的值．

Answer 1

分析 （1）將函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)，結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求函數(shù)y=f（x）圖象的最小正周期；
（2）根據(jù)x∈[0，$\frac{π}{2}$]，求出f（x）的范圍，結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求f（x）的最小值及取得最小值時(shí)x的值．

解答 解：f（x）=cos²x-2sinxcosx-sin²x=cos2x-sin2x=$\sqrt{2}cos（2x+\frac{π}{4}）$
（1）最小正周期$T=\frac{2π}{ω}$=$\frac{2π}{2}=π$
（2）∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]即$0≤x≤\frac{π}{2}$，∴$\frac{π}{4}≤2x+\frac{π}{4}≤\frac{5π}{4}$；
結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)：$2x+\frac{π}{4}=\frac{5π}{4}$時(shí)，$f（x）min=\sqrt{2}cos\frac{5π}{4}=-1$
由：$2x+\frac{π}{4}=\frac{5π}{4}$，解得x=$\frac{π}{2}$．
∴當(dāng)x∈[0，$\frac{π}{2}$]時(shí)，f（x）的最小值為-1，取得最小值時(shí)x的值為$\frac{π}{2}$．
故：f（x）的最小正周期為π；x∈[0，$\frac{π}{2}$]時(shí)，f（x）的最小值為-1，取得最小值時(shí)x的值為$\frac{π}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)是解決本題的關(guān)鍵．