Question

7．已知偶函數(shù)f（x）滿足f（x+2）=f（x），且當x∈[0，1]時，f（x）=x．若在區(qū)間[-1，3]上，函數(shù)g（x）=f（x）-kx-k有3個零點，則實數(shù)k的取值范圍是（$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$）．

Answer 1

分析 根據(jù)已知條件便可畫出f（x）在區(qū)間[-1，3]上的圖象，而函數(shù)g（x）的零點個數(shù)便是函數(shù)f（x）圖象和函數(shù)y=kx+k的個數(shù)，而k便是函數(shù)y=kx+k在y軸上的截距，所以結(jié)合圖形，討論k＞0，k＜0，k=0的情況，并求出對應(yīng)的k的取值范圍即可．

解答 解：根據(jù)已知條件知函數(shù)f（x）為周期為2的周期函數(shù)；
且x∈[-1，1]時，f（x）=|x|；
而函數(shù)g（x）的零點個數(shù)便是函數(shù)f（x）和函數(shù)y=kx+k的交點個數(shù)；
∴（1）若k＞0，則如圖所示：
當y=kx+k經(jīng)過點（1，1）時，k=$\frac{1}{2}$；當經(jīng)過點（3，1）時，k=$\frac{1}{4}$；
∴$\frac{1}{4}＜k＜\frac{1}{2}$；
（2）若k＜0，即函數(shù)y=kx+k在y軸上的截距小于0，顯然此時該直線與f（x）的圖象不可能有三個交點；
即這種情況不存在；
（3）若k=0，得到直線y=0，顯然與f（x）圖象只有兩個交點；
綜上得實數(shù)k的取值范圍是$（\frac{1}{4}，\frac{1}{2}）$；
故答案為：（$\frac{1}{4}，\frac{1}{2}$）．

點評 考查周期函數(shù)的概念，偶函數(shù)圖象的特點，直線在y軸上截距的概念，以及函數(shù)零點的概念，函數(shù)零點和對應(yīng)函數(shù)交點的關(guān)系，以及數(shù)形結(jié)合解題的方法．