Question

19．設(shè)M是焦距為2的橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）上一點，A，B是其左右頂點，直線MA與MB的斜率分別為k₁，k₂，且k₁k₂=-$\frac{1}{2}$．
（1）求橢圓E的方程；
（2）已知橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）上點N（x₀，y₀）處切線方程為$\frac{{x}_{0}x}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}_{0}y}{^{2}}$=1，若與與橢圓E相切與（x₁，y₁），D（x₂，y₂）兩點的切線相交于P點，且$\overrightarrow{PC}$•$\overrightarrow{PD}$=0，求證點P到原點距離為定值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)A（-a，0），B（a，0），M（m，n），代入橢圓方程，運用直線的斜率公式，化簡整理，注意整體代入，解方程即可求得a，b，進而得到橢圓方程；
（2）設(shè)切點C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），運用橢圓上一點的切線方程，得到PC，PD的方程，求得交點P的坐標(biāo)，再由$\overrightarrow{PC}$•$\overrightarrow{PD}$=0，則PC⊥PD，運用直線的斜率公式，化簡整理，由兩點的距離公式，注意C，D在橢圓上，滿足橢圓方程，運用整體代入，化簡計算即可得到定值．

解答 （1）解：設(shè)A（-a，0），B（a，0），M（m，n），則$\frac{{m}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{n}^{2}}{^{2}}$=1，
即n²=b²•$\frac{{a}^{2}-{m}^{2}}{{a}^{2}}$，
由k₁k₂=-$\frac{1}{2}$，即$\frac{n}{m+a}$•$\frac{n}{m-a}$=-$\frac{1}{2}$，
即有$\frac{{n}^{2}}{{m}^{2}-{a}^{2}}$=-$\frac{1}{2}$，
即為a²=2b²，又c²=a²-b²=1，
解得a²=2，b²=1．
即有橢圓E的方程為$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1；
（2）證明：設(shè)切點C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
則兩切線方程PC，PD分別為：$\frac{{x}_{1}x}{2}$+y₁y=1，$\frac{{x}_{2}x}{2}$+y₂y=1，
解得P（$\frac{2（{y}_{2}-{y}_{1}）}{{x}_{1}{y}_{2}-{x}_{2}{y}_{1}}$，$\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{{x}_{1}{y}_{2}-{x}_{2}{y}_{1}}$），
由$\overrightarrow{PC}$•$\overrightarrow{PD}$=0，則PC⊥PD，
即有k_PC=$\frac{{y}_{1}{y}_{2}{x}_{1}-{x}_{2}{{y}_{1}}^{2}-{x}_{1}+{x}_{2}}{{{x}_{1}}^{2}{y}_{2}-{x}_{1}{x}_{2}{y}_{1}-2{y}_{2}+2{y}_{1}}$，
由于x₁²+2y₁²=2，即有x₁²-2=-2y₁²，1-y₁²=$\frac{1}{2}$x₁²，
代入上式，可得k_PC=$\frac{-{x}_{1}}{2{y}_{1}}$，
同理可得k_PD=$\frac{-{x}_{2}}{2{y}_{2}}$，
即有k_PC•k_PD=-1，即為x₁x₂=-4y₁y₂，
又x₁²=2-2y₁²，x₂²=2-2y₂²，
即有|PO|²=$\frac{4（{y}_{2}-{y}_{1}）^{2}+（{x}_{2}-{x}_{1}）^{2}}{（{x}_{1}{y}_{2}-{x}_{2}{y}_{1}）^{2}}$=$\frac{{{y}_{1}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}+2}{{{y}_{1}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}+2{{y}_{1}}^{2}{{y}_{2}}^{2}}$，
又（x₁x₂）²=16（y₁y₂）²，
即有（2-2y₁²）（2-2y₂²）=16（y₁y₂）²，
即（1-y₁²）（1-y₂²）=4（y₁y₂）²，
即y₁²y₂²=$\frac{1}{3}$（1-y₁²-y₂²），
則|PO|²=$\frac{{{3（y}_{1}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}+2）}{{{y}_{1}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}+2}$=3，
即|PO|=$\sqrt{3}$，
故P到原點距離為定值$\sqrt{3}$

點評 本題主要考查橢圓的簡單性質(zhì)、直線與橢圓的位置關(guān)系，導(dǎo)數(shù)的幾何意義等基本知識，考查運算能力和綜合解題能力．解題時要注意運算能力的培養(yǎng)．