Question

15．若m-$\frac{1}{2}$＜x≤m+$\frac{1}{2}$（其中m為整數(shù)），則稱m為離實數(shù)x最近的整數(shù)，記作[x]，即[x]=m．
（1）若-$\frac{1}{2}$＜x≤$\frac{1}{2}$，則f（x）=x-[x]的值域是$（{-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}}]$；
（2）設(shè)集合A={（x，y）|y=f（x）=x-[x]，x∈R}，B={（x，y）|y=g（x）=kx-1，x∈R}，若集合A∩B的子集恰有4個，則實數(shù)k的取值范圍是$[{-3，-\frac{3}{5}}）$或$（{\frac{3}{11}，\frac{3}{7}}]$．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)$x∈（{-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}}]$時，離x最近的整數(shù)為0，即[x]=0，故f（x）=x，由x的范圍即可得到函數(shù)的值域；
（2）由集合A∩B的子集恰有4個，可得A∩B中只有兩個元素，畫函數(shù)f（x）的圖象，使函數(shù)使函數(shù)f（x）與g（x）有兩個交點．

解答 解：（1）當(dāng)$x∈（{-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}}]$時，[x]=0，$f（x）=x-[x]=x∈（{-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}}]$．
故答案為：$（{-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}}]$．
（2）由條件知f（x）是周期為1的周期函數(shù)，由周期性可作出其圖象．又集合A∩B的子集恰有4個，即A∩B中只有兩個元素．
作出f（x）和g（x）的圖象如圖所示，

由圖象可知：要使函數(shù)f（x）與g（x）有兩個交點，則有

$\frac{{\frac{1}{2}-（-1）}}{{-\frac{1}{2}-0}}≤k＜\frac{{\frac{1}{2}-（-1）}}{{-\frac{5}{2}-0}}$或$\frac{{\frac{1}{2}-（-1）}}{{\frac{11}{2}-0}}＜k≤\frac{{\frac{1}{2}-（-1）}}{{\frac{7}{2}-0}}$，
即$-3≤k＜-\frac{3}{5}$或$\frac{3}{11}＜k≤\frac{3}{7}$．
故答案為：$[{-3，-\frac{3}{5}}）$或$（{\frac{3}{11}，\frac{3}{7}}]$．

點評 本題是一道涉及創(chuàng)新定義、體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的小綜合題．解題關(guān)鍵是理解“離實數(shù)x最近的整數(shù)”的數(shù)學(xué)意義，第（2）問由條件得到函數(shù)f（x）的周期性是解題的突破，這樣可以得到函數(shù)的圖象，從而求出實數(shù)k的取值范圍．另外解題中還要注意特殊點的選取，對應(yīng)區(qū)間端點是否取得．