Question

11．在△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a，b，c，且$\frac{（a+b）^{2}-{c}^{2}}{3ab}$=1．
（1）求∠C；
（2）若c=$\sqrt{3}$，b=$\sqrt{2}$，求∠B及△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）由已知條件化簡(jiǎn)變形可得：a²+b²-c²=ab，利用余弦定理可得cosC，結(jié)合范圍C∈（0°，180°），即可得解C的值．
（2）利用已知及正弦定理可得sinB，利用大邊對(duì)大角可求角B的值，利用兩角和的正弦函數(shù)公式可求sinA的值，利用三角形面積公式即可求值得解．

解答 （本題滿分為12分）
解：（1）由已知條件化簡(jiǎn)可得：（a+b）²-c²=3ab，變形可得：a²+b²-c²=ab，
由余弦定理可得：cosC=$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{1}{2}$，
∵C∈（0°，180°），
∴C=60°…6分
（2）∵c=$\sqrt{3}$，b=$\sqrt{2}$，C=60°，
∴由正弦定理可得：sinB=$\frac{bsinC}{c}$=$\frac{\sqrt{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
又∵b＜c，∴B＜C，∴B=45°，
在△ABC中，sinA=sin（B+C）=sinBcoC+cosBsinC=$\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}×\sqrt{3}×\sqrt{2}×$$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$=$\frac{3+\sqrt{3}}{4}$…12分

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了余弦定理，正弦定理，大邊對(duì)大角，兩角和的正弦函數(shù)公式，三角形面積公式在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．