Question

18．A，B兩地相距300km，汽車從A地以vkm/h的速度勻速行駛到B地（速度不得超過60km/h）．已知汽車每小時的運輸成本由固定成本和可變成本組成，固定成本為250元，可變成本（單位：元）與速度v的立方成正比，比例系數(shù)$\frac{1}{1000}$，設(shè)全程的運輸成本為y元．
（1）求y關(guān)于v的函數(shù)關(guān)系；
（2）為使全程運輸成本最小，汽車應(yīng)以多大速度行駛？

Answer 1

分析 （1）求出汽車從A地勻速行駛到B地所用時間，根據(jù)汽車每小時的運輸成本（以元為單位）由可變部分和固定部分組成，可得全程運輸成本，及函數(shù)的定義域；
（2）利用基本不等式可得結(jié)論．

解答 解：（1）依題意知汽車從A地勻速行駛到B地所用時間為$\frac{300}{v}$，
全程運輸成本為y=$\frac{300}{v}$（250+$\frac{1}{1000}{v}^{3}$），即y=300（$\frac{250}{v}$+$\frac{1}{1000}{v}^{2}$），定義域為（0，60]，
（2）y=300（$\frac{250}{v}$+$\frac{1}{1000}{v}^{2}$）=300（$\frac{125}{v}$+$\frac{125}{v}$+$\frac{1}{1000}{v}^{2}$）≥300×3$\root{3}{\frac{125×125}{1000}}$=2250，
當且僅當$\frac{125}{v}$=$\frac{1}{1000}{v}^{2}$，即v=50km/h時，全程運輸成本最小，最小為2250元．

點評 本題考查函數(shù)模型的構(gòu)建，考查基本不等式的運用，解題的關(guān)鍵是構(gòu)建函數(shù)模型，利用基本不等式求最值．