Question

9．在等差數(shù)列{a_n}中，a₂=1，a₄=5．
（I）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列c_n=a_n+b_n，且數(shù)列{c_n}是等比數(shù)列．若b₁=b₂=3，求數(shù)列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析 （I）利用等差數(shù)列的通項公式即可得出；
（II）利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式即可得出．

解答 解：（I）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
由 a₂=1，a₄=5，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+d=1}\\{{a}_{1}+3d=5}\end{array}\right.$，
解得a₁=-1，d=2．
∴${a_n}={a_1}+（n-1）d=2n-3，n∈{{N}^*}$．
（II）由a₁=-1，b₁=3，得c₁=2．a(chǎn)₂=，b₂=3，得c₂=4．
∵{c_n}是等比數(shù)列，$\frac{c_2}{c_1}=2$，
∴${c_n}={c_1}•{（\frac{c_2}{c_1}）^{n-1}}={2^n}$．
∴${b_n}={c_n}-{a_n}={2^n}-（2n-3）$．
∴${S_n}={b_1}+{b_2}+…+{b_n}=\frac{{2-{2^{n+1}}}}{1-2}-\frac{n（-1+2n-3）}{2}$=2ⁿ⁺¹-n²+2n-2，n∈N^*．

點評 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．