Question

12．設(shè)a，b都為正實數(shù)且a+b=1，則$\frac{a^2}{a+1}+\frac{b^2}{b+2}$的最小值為$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 換元可化問題為正數(shù)s+t=4，求$\frac{1}{s}$+$\frac{4}{t}$-2的最小值，代入由基本不等式可得．

解答 解：令a+1=s，b+2=t，則a=s-1，b=t-2，
由題意可得s，t為正數(shù)且s-1+t-2=1，即s+t=4，
∴$\frac{a^2}{a+1}+\frac{b^2}{b+2}$=$\frac{（s-1）^{2}}{s}$+$\frac{（t-2）^{2}}{t}$
=s-2+$\frac{1}{s}$+t-4+$\frac{4}{t}$=$\frac{1}{s}$+$\frac{4}{t}$-2=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{s}$+$\frac{4}{t}$）（s+t）-2
=$\frac{1}{4}$（5+$\frac{t}{s}$+$\frac{4s}{t}$）-2≥$\frac{1}{4}$（5+2$\sqrt{\frac{t}{s}•\frac{4s}{t}}$）-2=$\frac{1}{4}$
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{t}{s}$=$\frac{4s}{t}$即s=$\frac{4}{3}$且t=$\frac{8}{3}$即a=$\frac{1}{3}$且b=$\frac{2}{3}$時取等號．
故答案為：$\frac{1}{4}$．

點評 本題考查基本不等式求最值，換元并變形為可用基本不等式的形式是解決問題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題．