【題目】設(shè)，其中，函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為，其中.

（1）求和并證明函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；

（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，求最小的整數(shù)的值.

【答案】（1），證明見(jiàn)解析；（2）.

【解析】

（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為，可得，即可求得的值，在根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性以及特殊點(diǎn)的函數(shù)值，可判斷函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn).

（2）當(dāng)時(shí)，，由此；猜想的最小值為，再證明，在時(shí)恒成立，即可求得.

解：（1）

所以定義域?yàn)?/span>

，

又因?yàn)楹瘮?shù)在點(diǎn)處的切線方程為

所以

當(dāng)時(shí)，，即，解得

，函數(shù)在上單調(diào)遞減

由于，，則函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)．

（2）一方面，當(dāng)時(shí)，，由此；

所以猜想的最小值為，

下證：當(dāng)時(shí)，，在時(shí)恒成立，

記函數(shù)，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減

；

記函數(shù)，，在上單調(diào)減，在上單調(diào)減

，即；

，成立

又因?yàn)?/span>和不能同時(shí)在同一處取到最大值，

所以當(dāng)時(shí)，恒成立

所以最小整數(shù)．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（，為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，曲線的直角坐標(biāo)方程為.

（1）求曲線的普通方程，曲線的極坐標(biāo)方程；

（2）若，是曲線上兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù) F (x) = e x 滿足 F ( x) = g ( x) + h( x) ，且 g ( x), h( x) 分別是定義在 R 上的偶函數(shù)和奇函數(shù)．

（1）求函數(shù) h(x)的反函數(shù)；

（2）已知(x) = g(x 1)，若函數(shù)(x)在 [1,3]上滿足(2 a+1) ，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍；

（3）若對(duì)于任意 x ∈(0,2]不等式 g(2x) ah(x) ≥ 0 恒成立，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）討論的導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性；

（2）若有兩個(gè)極值點(diǎn)，，求實(shí)數(shù)的取值范圍，并證明.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】設(shè)，已知函數(shù)，.

（Ⅰ）設(shè)，求在上的最大值.

（Ⅱ）設(shè)，若的極大值恒小于0，求證：.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某種植園在芒果臨近成熟時(shí)，隨機(jī)從一些芒果樹(shù)上摘下100個(gè)芒果，其質(zhì)量分別在，，，，，（單位：克）中，經(jīng)統(tǒng)計(jì)得頻率分布直方圖如圖所示.

（1）經(jīng)計(jì)算估計(jì)這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；

（2）現(xiàn)按分層抽樣從質(zhì)量為，的芒果中隨機(jī)抽取6個(gè)，再?gòu)倪@6個(gè)中隨機(jī)抽取3個(gè)，求這3個(gè)芒果中恰有1個(gè)在內(nèi)的概率.

（3）某經(jīng)銷商來(lái)收購(gòu)芒果，以各組數(shù)據(jù)的中間數(shù)代表這組數(shù)據(jù)的平均值，用樣本估計(jì)總體，該種植園中還未摘下的芒果大約還有10000個(gè)，經(jīng)銷商提出如下兩種收購(gòu)方案：

A：所有芒果以10元/千克收購(gòu)；

B：對(duì)質(zhì)量低于250克的芒果以2元/個(gè)收購(gòu)，高于或等于250克的以3元/個(gè)收購(gòu)，通過(guò)計(jì)算確定種植園選擇哪種方案獲利更多？

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖所示,三棱柱的側(cè)面是圓柱的軸截面,C是圓柱底面圓周上不與A、B重合的一個(gè)點(diǎn)。

(1)若圓柱的軸截面是正方形,當(dāng)點(diǎn)C是弧AB的中點(diǎn)時(shí),求異面直線與AB的所成角的大小(結(jié)果用反三角函數(shù)值表示)；

(2)當(dāng)點(diǎn)C是弧AB的中點(diǎn)時(shí),求四棱錐體積與圓柱體積的比.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若，，試證：.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】每年的4月23日為“世界讀書(shū)日”，某調(diào)查機(jī)構(gòu)對(duì)某校學(xué)生做了一個(gè)是否喜愛(ài)閱讀的抽樣調(diào)查.該調(diào)查機(jī)構(gòu)從該校隨機(jī)抽查了100名不同性別的學(xué)生（其中男生45名），統(tǒng)計(jì)了每個(gè)學(xué)生一個(gè)月的閱讀時(shí)間，其閱讀時(shí)間（小時(shí)）的頻率分布直方圖如圖所示：

（1）求樣本學(xué)生一個(gè)月閱讀時(shí)間的中位數(shù).

（2）已知樣本中閱讀時(shí)間低于的女生有30名，請(qǐng)根據(jù)題目信息完成下面的列聯(lián)表，并判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.1的前提下認(rèn)為閱讀與性別有關(guān).

列聯(lián)表

男

女

總計(jì)

總計(jì)

附表：

0.15

0.10

0.05

2.072

2.706

3.841

其中：.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案