Question

9．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD的平行四邊形，∠ADC=60°，$AB=\frac{1}{2}AD$，PA⊥面ABCD，E為PD的中點．
（Ⅰ）求證：AB⊥PC
（Ⅱ）若PA=AB=$\frac{1}{2}AD=2$，求三棱錐P-AEC的體積．

Answer 1

分析 （1）推導出AB⊥PA，AB⊥AC，從而AB⊥平面PAC，由此能證明AB⊥PC．
（2）推導出PA⊥面ABCD，由V_P-AEC=V_D-AEC=V_E-ADC，能求出三棱錐P-AEC的體積．

解答 證明：（1）因為PA⊥面ABCD，又AB?平面ABCD，
所以AB⊥PA，
又因為∠ABC=∠ADC=60°，$AB=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}BC$，
在△ABC中，由余弦定理有：
AC²=AB²+BC²-2AB•BC•cos60°=BC²-AB²
所以AB²+AC²=BC²，
即：AB⊥AC，
又因為PA∩AC=A，又PA?平面PAC，AC?平面PAC，
所以AB⊥平面PAC，
又PC?平面PAC，所以AB⊥PC．
解：（2）由已知有：$PA=AB=\frac{1}{2}AD=2$，
所以PA=AB=2，AD=4，因為PA⊥面ABCD
且E為PD的中點，所以E點到平面ADC的距離為$\frac{1}{2}PA=1$，
所以三棱錐P-AEC的體積：
V_P-AEC=V_D-AEC=V_E-ADC=$\frac{1}{3}{S_{△ADC}}\frac{1}{2}PA$
=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×4$×$sin60°×1=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$．

點評 本題考查線線垂直的證明，考查三棱錐的體積的求法，考查推理論證能力、運算求解能力、空間想象能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，考查創(chuàng)新意識、應用意識，是中檔題．