Question

8．雙曲線$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{12}$=1的右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A（3，1），雙曲線上取一點(diǎn)P，則2|PA|+|PF|的最小值為4．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，算出雙曲線的離心率e=2，右準(zhǔn)線為l：x=1．作AN⊥l于N，交雙曲線右支于P，連結(jié)FP，根據(jù)圓錐曲線統(tǒng)一定義得到|PA|+$\frac{1}{2}$|PF|=|PA|+|PN|．由平幾知識(shí)可得：當(dāng)A、N、P三點(diǎn)共線時(shí)，|PA|+|PN|=|AN|達(dá)到最小值，由此即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)和|PA|+$\frac{1}{2}$|PF|的最小值．

解答 解∵雙曲線方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{12}$=1，
∴a=2，b=2$\sqrt{3}$，c=4，
可得離心率e=2，右準(zhǔn)線為l：x=1，
作AN⊥l于N，交雙曲線右支于P，連結(jié)FP，則
由圓錐曲線統(tǒng)一定義得|PF|=e|PN|=2|PN|，
∴|PN|=$\frac{1}{2}$|PF|，因此，|PA|+$\frac{1}{2}$|PF|=|PA|+|PN|，
當(dāng)且僅當(dāng)A、N、P三點(diǎn)共線時(shí)，|PA|+|PN|=|AN|達(dá)到最小值為|AN|=3-1=2．
∴2|PA|+|PF|的最小值為4．
故答案為：4．

點(diǎn)評(píng) 本題著重考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)、圓錐曲線的統(tǒng)一定義等知識(shí)，屬于中檔題．