Question

19．在銳角△ABC中，∠A=60°，BC=2，求△ABC面積的取值范圍．

Answer 1

分析 由正弦定理可得，$\frac{a}{sinA}$=$\frac{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$，結合已知可先表示b，c，然后由△ABC為銳角三角形及B+C=120°可求B的范圍，再把所求的bc用sinB，cosB表示，利用三角公式進行化簡后，結合正弦函數(shù)的性質(zhì)可求bc的范圍，即可得到面積的范圍．

解答 解：由正弦定理可得，$\frac{a}{sinA}$=$\frac{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$=$\frac{2}{sin60°}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴b=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$sinB，c=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$sinC，
∵△ABC為銳角三角形，
∴0°＜B＜90°，0°＜C＜90°且B+C=120°，
∴30°＜B＜90°
∵bc=$\frac{16}{3}$sinBsin（120°-B）
=$\frac{16}{3}$sinB（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosB+$\frac{1}{2}$sinB）
=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$sinBcosB+$\frac{8}{3}$sin²B
=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$sin2B+$\frac{4}{3}$（1-cos2B）
=$\frac{8}{3}$sin（2B-30°）+$\frac{4}{3}$，
∵30°＜B＜90°，
∴30°＜2B-30°＜150°，
∴$\frac{1}{2}$＜sin（2B-30°）≤1，
∴$\frac{8}{3}$＜$\frac{8}{3}$sin（2B-30°）+$\frac{4}{3}$≤4，
即$\frac{8}{3}$＜bc≤4，
則面積S=$\frac{1}{2}$bcsin60°=$\frac{\sqrt{3}}{4}$bc的范圍是（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，$\sqrt{3}$]．

點評 本題綜合考查了正弦定理和面積公式及兩角和與差的正弦、余弦公式及輔助角公式的綜合應用，解題的關鍵是熟練掌握基本公式并能靈活應用．