Question

20．若A，B，C都是正數(shù)，且A+B+C=3，則$\frac{4}{A+1}$+$\frac{1}{B+C}$的最小值為$\frac{9}{4}$．

Answer 1

分析 由題意可得A+1+B+C=4，且A+1＞0，且B+C＞0，可得$\frac{4}{A+1}$+$\frac{1}{B+C}$=$\frac{1}{4}$（$\frac{4}{A+1}$+$\frac{1}{B+C}$）（A+1+B+C）=$\frac{1}{4}$[5+$\frac{4（B+C）}{A+1}$+$\frac{A+1}{B+C}$]，由基本不等式求最值可得．

解答 解：A，B，C都是正數(shù)，且A+B+C=3，
∴A+1+B+C=4，且A+1＞0，且B+C＞0，
∴$\frac{4}{A+1}$+$\frac{1}{B+C}$=$\frac{1}{4}$（$\frac{4}{A+1}$+$\frac{1}{B+C}$）（A+1+B+C）
=$\frac{1}{4}$[5+$\frac{4（B+C）}{A+1}$+$\frac{A+1}{B+C}$]≥$\frac{1}{4}$[5+2$\sqrt{\frac{4（B+C）}{A+1}•\frac{A+1}{B+C}}$]=$\frac{9}{4}$
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{4（B+C）}{A+1}$=$\frac{A+1}{B+C}$即A=$\frac{5}{3}$且B+C=$\frac{4}{3}$時(shí)取等號(hào)，
故答案為：$\frac{9}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查基本不等式求最值，準(zhǔn)確變形是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題．