Question

6．某人10萬元買了1輛車，每年使用的保險費．養(yǎng)路費和油費共1萬元，年維修費第一年0.2萬元，以后每年遞增0.1萬元，則這種汽車使用10$\sqrt{2}$年時，它的年平均費用最少．

Answer 1

分析 通過記第n年維修費用為a_n，計算可知a_n=0.1n+0.1（萬元），進(jìn)而可知前n年維修費用A_n=$\frac{n（0.1n+0.3）}{2}$（萬元），化簡可知年平均費用S=$\frac{10}{n}$+$\frac{0.1n}{2}$+$\frac{2.3}{2}$，進(jìn)而利用基本不等式計算即得結(jié)論．

解答 解：依題意，記第n年維修費用為a_n，則a_n=0.2+0.1（n-1）=0.1n+0.1（萬元），
則前n年維修費用A_n=$\frac{n（{a}_{1}+{a}_{n}）}{2}$=$\frac{n（0.2+0.1n+0.1）}{2}$=$\frac{n（0.1n+0.3）}{2}$（萬元），
故年平均費用S=$\frac{10+{A}_{n}+n}{n}$=$\frac{10}{n}$+$\frac{0.1n}{2}$+$\frac{2.3}{2}$，
∵$\frac{10}{n}$+$\frac{0.1n}{2}$≥2$\sqrt{\frac{10}{n}•\frac{0.1n}{2}}$=$\sqrt{2}$，
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{10}{n}$=$\frac{0.1n}{2}$即n=10$\sqrt{2}$時取等號，
∴這種汽車使用10$\sqrt{2}$年時，它的年平均費用最少，
故答案為：10$\sqrt{2}$．

點評 本題考查函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，考查等差數(shù)列的求和，考查基本不等式，注意解題方法的積累，屬于中檔題．