Question

11．設(shè)點(diǎn)M（1，m），若在圓O：x²+y²=1上存在一點(diǎn)N，使得∠OMN=30°，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是[-$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$]．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線x=1上的點(diǎn)M與圓x²+y²=1上的點(diǎn)T（1，0）所組成的∠OMT≥30°，由此求出m的取值范圍．

解答 解：如圖所示，
易知M（1，m）在直線x=1上，設(shè)圓x²+y²=1與直線x=1的交點(diǎn)為T，
假設(shè)存在點(diǎn)N，使得∠OMN=30°，則必有∠OMN≤∠OMT，
所以要是圓上存在點(diǎn)N，使得∠OMN=30°，只需∠OMT≥30°，
因?yàn)門（1，0），所以只需在Rt△OMT中，tan∠OMT=$\frac{OT}{TM}$=$\frac{1}{|m|}$≥tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
解得|m|≤$\sqrt{3}$，當(dāng)m=0時(shí)，滿足題意，
故m∈[-$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$]．
故答案為：[-$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線與圓的應(yīng)用問(wèn)題，解題時(shí)應(yīng)弄清楚M點(diǎn)所在的位置，找到∠OMN與∠OMT的大小關(guān)系，從而構(gòu)造出關(guān)于m的不等式，是基礎(chǔ)題目．