Question

12．已知f_n（x）=（1+2x）（1+2²x）…（1+2ⁿx）（n≥2，n∈N^*）．
（1）設(shè)f_n（x）展開式中含x項(xiàng)的系數(shù)為a_n，求a_n．
（2）設(shè)f_n（x）展開式中含x²項(xiàng)的系數(shù)為b_n，求證：b_n+1=b_n+2ⁿ⁺¹a_n．
（3）是否存在常數(shù)a，b，使b_n=$\frac{8}{3}$（2^n-1-1）（2ⁿa+b）對(duì)一切n≥2且n∈N^*恒成立？若不存在，說明理由；若存在，求出a，b的值，并給出證明．

Answer 1

分析 這是一個(gè)數(shù)列與二項(xiàng)式的綜合題，第（1）、（2）小題容易解決，第（3）小題是一個(gè)探索性問題，可先用特殊值法求出a、b的值，再用數(shù)學(xué)歸納法證明．

解答 解：（1）根據(jù)多項(xiàng)式乘法的運(yùn)算法則，f_n（x）的展開式中x項(xiàng)的系數(shù)為a_n=2+2²+2³+…+2ⁿ=2ⁿ⁺¹-2．
（2）用為a_n、b_n分別是f_n（x）的展開式中x項(xiàng)、x²項(xiàng)的系數(shù)，則可設(shè)f_n（x）=1+a_nx+b_nx²+…，則
f_n+1（x）=f_n（x）•（1+2ⁿ⁺¹）=1+（a_n+2ⁿ⁺¹）x+（b_n+2ⁿ⁺¹•a_n）x²+…，?
∴b_n+1=b_n+2ⁿ⁺¹a_n．
（3）假設(shè)存在a、b，使得b_n=$\frac{8}{3}$（2^n-1-1）（2ⁿa+b）對(duì)一切n≥2且n∈N^*恒成立，則
b₂=$\frac{8}{3}$（2-1）（2²a+b），即4a+b=$\frac{3}{8}$b₂．①
同理8a+b=$\frac{1}{8}$b₃．②
又由f₂（x）=1+6x+8x²，得a₂=6，b₂=8．從而b₃=56，
代入①、②得a=1，b=-1．　　
猜想：b_n=$\frac{8}{3}$（2^n-1-1）（2ⁿ-1）（n≥2）． 
證明如下：（i）n=2時(shí)，已經(jīng)證明成立；
（ii）假設(shè)n=k時(shí)結(jié)論成立，即b_k=$\frac{8}{3}$（2^k-1-1）（2^k-1），
則n=k+1時(shí)，b_k+1=b_k+2^k+1a_k=$\frac{8}{3}$（2^k-1-1）（2^k-1）+2^k+1（2^k+1-2）=$\frac{8}{3}$（2^k-1）（2^k+1-1），
∴n=k+1時(shí)，結(jié)論成立，
由（i）（ii）可得b_n=$\frac{8}{3}$（2^n-1-1）（2ⁿ-1）（n≥2）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二項(xiàng)式定理的運(yùn)用，考查歸納猜想，考查數(shù)學(xué)歸納法的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，有難度．