Question

2．已知f（x）=sin²ωx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2ωx-$\frac{1}{2}$（x∈R，ω＞0），若f（x）的最小正周期為π．
（I）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）求f（x）在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]的最大值和最小值．
（Ⅲ）試探究關(guān)于x的方程f（x）=a在[0，$\frac{π}{2}$]內(nèi)解的個(gè)數(shù)情況，并求出相應(yīng)實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）利用兩角和公式和二倍角公式對(duì)函數(shù)解析式化簡(jiǎn)，根據(jù)最小正周期求得ω，則函數(shù)解析式可得．
（Ⅱ）根據(jù)x的范圍，確定2x-$\frac{π}{6}$的范圍，進(jìn)而根據(jù)正弦函數(shù)的圖象求得函數(shù)的最大和最小值．
（Ⅲ）利用數(shù)形結(jié)合的思想，看直線y=a和三角函數(shù)y=sin（2x-$\frac{π}{6}$）的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．

解答 解：（I）f（x）=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$cos2ωx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2ωx-$\frac{1}{2}$=sin（2ωx-$\frac{π}{6}$），
∵T=$\frac{2π}{2ω}$=π，
∴ω=1，
∴f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$），
當(dāng)2kπ$-\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ$+\frac{π}{2}$時(shí)，kπ-$\frac{π}{6}$≤x≤kπ$+\frac{π}{3}$，k∈Z，
即函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為[kπ-$\frac{π}{6}$，kπ$+\frac{π}{3}$]．
（Ⅱ）∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，
∴2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，
∴當(dāng)2x-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，函數(shù)f（x）有最大值1，
當(dāng)2x-$\frac{π}{6}$=-$\frac{π}{6}$時(shí)，函數(shù)f（x）有最小值-$\frac{1}{2}$．
（Ⅲ）
如圖當(dāng)-1≤a＜$\frac{1}{2}$或a=1時(shí)，方程有一個(gè)解，
當(dāng)$\frac{1}{2}$≤a＜1時(shí)，方程有兩個(gè)解，
當(dāng)a＜-1或a＞1時(shí)，方程無解．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角函數(shù)圖象與性質(zhì)，二倍角公式和兩角和公式的應(yīng)用．第三問關(guān)于方程的解的個(gè)數(shù)，常用數(shù)形結(jié)合的思想來解決．