Question

已知橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），其右焦點(diǎn)為F（4，0），過(guò)點(diǎn)F的直線交橢圓與A，B兩點(diǎn)．若AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-1），則橢圓的方程為（　�。�

• A、

  x2

  45

  +

  y2

  36

  =1
• B、

  x2

  12

  +

  y2

  4

  =1
• C、

  x2

  24

  +

  y2

  8

  =1
• D、

  x2

  18

  +

  y2

  9

  =1

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），代入橢圓的方程可得

x 2 1

a2

+

y 2 1

b2

=1，

x 2 2

a2

+

y 2 2

b2

=1．兩式相減可得：

(x1-x2)(x1+x2)

a2

+

(y1-y2)(y1+y2)

b2

=0．把x₁+x₂=2，y₁+y₂=-2，

y1-y2

x1-x2

=

-1-0

1-4

=

1

3

，代入上式可得：a²=3b²．又c=4，c²=a²-b²，聯(lián)立解得即可．

解答： 解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），代入橢圓的方程可得

x 2 1

a2

+

y 2 1

b2

=1，

x 2 2

a2

+

y 2 2

b2

=1．
兩式相減可得：

(x1-x2)(x1+x2)

a2

+

(y1-y2)(y1+y2)

b2

=0．
由x₁+x₂=2，y₁+y₂=-2，

y1-y2

x1-x2

=

-1-0

1-4

=

1

3

，代入上式可得：

2

a2

+

-2

b2

×

1

3

=0，化為a²=3b²．
又c=4，c²=a²-b²，聯(lián)立解得a²=24，b²=8．
∴橢圓的方程為：

x2

24

+

y2

8

+1．
故選：C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、“點(diǎn)差法”，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．