17.如圖所示,在幾何體ABCDE中,AB=BC=CA=EB=EC=2$\sqrt{3}$,DE=$\sqrt{2}$,點(diǎn)D在底面ABC上的射影O為底面三角形ABC的中心,平面BEC⊥平面ABC.
(1)證明:A,D,E,O四點(diǎn)共面;
(2)求幾何體ABCDE的體積.

分析 (1)如圖所示,取BC的中點(diǎn)F,連接AF,EF,則AF經(jīng)過點(diǎn)O.利用等邊三角形的性質(zhì)可得:EF⊥BC,再利用面面垂直的性質(zhì)可得EF⊥平面ABC,可得DO∥EF,進(jìn)而證明結(jié)論.
(2)OF=$\frac{1}{3}AF$,AF=ABcos30°=3,可得OF=1.過點(diǎn)E作EM⊥OD,垂足為M,則EM=OF=1,DM=$\sqrt{D{E}^{2}-E{M}^{2}}$.EF=AF,可得DO=DM+MO.又V三棱錐D-ABC=$\frac{1}{3}DO•{S}_{△ABC}$,V三棱錐D-BEC=$\frac{1}{3}OF•{S}_{△BEC}$,幾何體ABCDE的體積=V三棱錐D-ABC+V三棱錐D-BEC,即可得出.

解答 (1)證明:如圖所示,取BC的中點(diǎn)F,連接AF,EF,則AF經(jīng)過點(diǎn)O.
∵BC=EB=EC=2$\sqrt{3}$,
∴EF⊥BC,
∵平面BEC⊥平面ABC,平面BEC∩平面ABC=BC.
∴EF⊥平面ABC,又DO⊥平面ABC.
∴DO∥EF,
∴D,E,F(xiàn),O,四點(diǎn)共面,而A,O,F(xiàn),E四點(diǎn)共面,
∴A,D,E,O四點(diǎn)共面;
(2)解:OF=$\frac{1}{3}AF$,AF=ABcos30°=$2\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=3,∴OF=1.
過點(diǎn)E作EM⊥OD,垂足為M,
則EM=OF=1,
∴DM=$\sqrt{D{E}^{2}-E{M}^{2}}$=1.
EF=AF=3,
∴DO=DM+MO=1+3=4.
∴V三棱錐D-ABC=$\frac{1}{3}DO•{S}_{△ABC}$=$\frac{1}{3}×4×\frac{\sqrt{3}}{4}×(2\sqrt{3})^{2}$=4$\sqrt{3}$.
V三棱錐D-BEC=$\frac{1}{3}OF•{S}_{△BEC}$=$\frac{1}{3}×1×\frac{\sqrt{3}}{4}×(2\sqrt{3})^{2}$=$\sqrt{3}$.
∴幾何體ABCDE的體積=V三棱錐D-ABC+V三棱錐D-BEC=5$\sqrt{3}$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了空間位置關(guān)系、幾何體的體積計(jì)算公式、勾股定理、等邊三角形的面積,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.

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