Question

13．函數(shù)y=$\sqrt{\frac{x}{{x}^{2}+3x+1}}$的值域是[0，$\frac{\sqrt{5}}{5}$]∪[1，+∞）．

Answer 1

分析 由根式內(nèi)部的代數(shù)式大于等于0求出x的范圍，然后分類(lèi)利用對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性求出$\frac{x}{{x}^{2}+3x+1}$的范圍，開(kāi)方后取并集得答案．

解答 解：由$\frac{x}{{x}^{2}+3x+1}≥0$，得$\frac{-3-\sqrt{5}}{2}＜x＜\frac{-3+\sqrt{5}}{2}$或x≥0，
當(dāng)x=0時(shí)，$\frac{x}{{x}^{2}+3x+1}$=0，則y=0；
當(dāng)x＞0時(shí)，$\frac{x}{{x}^{2}+3x+1}$=$\frac{1}{x+\frac{1}{x}+3}$∈（0，$\frac{1}{5}$]，則y∈（0，$\frac{\sqrt{5}}{5}$]；
當(dāng)$\frac{-3-\sqrt{5}}{2}＜x＜\frac{-3+\sqrt{5}}{2}$時(shí)，$\frac{x}{{x}^{2}+3x+1}$=$\frac{1}{x+\frac{1}{x}+3}$∈[1，+∞），則y∈[1，+∞）．
綜上，函數(shù)y=$\sqrt{\frac{x}{{x}^{2}+3x+1}}$的值域是[0，$\frac{\sqrt{5}}{5}$]∪[1，+∞）．
故答案為：[0，$\frac{\sqrt{5}}{5}$]∪[1，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)值域的求法，考查了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想方法，訓(xùn)練了利用“對(duì)勾函數(shù)”的單調(diào)性求函數(shù)的值域，是中檔題．