Question

6．設函數(shù)f（x）=ax²-2x+lnx+c（a＞0）在[2，4]上無極值點，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 求出函數(shù)f（x）的導數(shù)，問題轉化為二次函數(shù)g（x）=2ax²-2x+1在[2，4]上的取值問題根據(jù)二次函數(shù)的性質判斷即可．

解答 解：f（x）的定義域是（0，+∞），
f′（x）=2ax-2+$\frac{1}{x}$=$\frac{2{ax}^{2}-2x+1}{x}$，
令g（x）=2ax²-2x+1，（x＞0），
若函數(shù)f（x）（a＞0）在[2，4]上無極值點，
則g（x）≥0（或g（x）≤0）在[2，4]恒成立，
 若g（x）≥0在[2，4]恒成立，
則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2a}≤2}\\{g（2）=8a-3≥0}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2a}≥4}\\{g（4）=32a-7≥0}\end{array}\right.$，
解得：a≥$\frac{3}{8}$，
若g（x）≤0在[2，4]恒成立，
則$\left\{\begin{array}{l}{2＜\frac{1}{2a}＜4}\\{g（2）=8a-3≤0}\\{g（4）=32a-7≤0}\end{array}\right.$，
解得：$\frac{1}{8}$＜a＜$\frac{7}{32}$，
綜上：a≥$\frac{3}{8}$或$\frac{1}{8}$＜a＜$\frac{7}{32}$．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，考查導數(shù)的應用，二次函數(shù)的性質，是一道中檔題．