Question

2．已知函數(shù)f（x）=x^a的圖象過點(diǎn)（4，2），令a_n=$\frac{1}{f（n+1）+f（n）}$，n∈N^*，記數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，則S₂₀₁₄=（　�。�

• A． $\sqrt{2013}$-1
• B． $\sqrt{2014}$-1
• C． $\sqrt{2015}$-1
• D． $\sqrt{2015}$+1

Answer 1

分析 函數(shù)f（x）=x^a的圖象過點(diǎn)（4，2），代入解出a，可得f（x）=$\sqrt{x}$．a(chǎn)_n=$\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$，再利用“裂項(xiàng)求和”即可得出．

解答 解：函數(shù)f（x）=x^a的圖象過點(diǎn)（4，2），
∴2=4^a，解得a=$\frac{1}{2}$．
∴f（x）=$\sqrt{x}$．
令a_n=$\frac{1}{f（n+1）+f（n）}$=$\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$=$\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$，
∴數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n=$（\sqrt{2}-1）$+$（\sqrt{3}-\sqrt{2}）$+…+（$\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$）=$\sqrt{n+1}$-1，
則S₂₀₁₄=$\sqrt{2015}$-1．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的性質(zhì)、數(shù)列的“裂項(xiàng)求和”，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．