Question

20．已知函數(shù)f（x）=cos（$\frac{π}{3}$+x）cos（$\frac{π}{3}$-x）-sinxcosx+$\frac{1}{4}$．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期和最大值并求取得最大值時的x的取值集合；
（2）求函數(shù)f（x）單調(diào)遞減區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）化簡函數(shù)f（x），求出函數(shù) 的最小正周期求出函數(shù)及x的取值集合即可；（2）根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可．

解答 解：（1）∵$f（x）=cos（\frac{π}{3}+x）cos（\frac{π}{3}-x）-\frac{1}{2}sin2x+\frac{1}{4}$
=$（\frac{1}{2}cosx-\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinx）（\frac{1}{2}cosx+\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinx）-\frac{1}{2}sin2x+\frac{1}{4}$
=$\frac{1}{4}{cos^2}x-\frac{3}{4}{sin^2}x-\frac{1}{2}sin2x+\frac{1}{4}$
=$\frac{1+cos2x}{8}-\frac{3-3cos2x}{8}-\frac{1}{2}sin2x+\frac{1}{4}$
=$\frac{1}{2}（cos2x-sin2x）$
=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}cos（{2x+\frac{π}{4}}）$
∴函數(shù)f（x）的最小正周期為 T=π，
函數(shù)f（x）的最大值為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，此時x的取值集合為$\left\{{x|x=kπ-\frac{π}{8}，k∈Z}\right\}$；
（2）由 $2kπ≤2x+\frac{π}{4}≤2kπ+π，k∈z$
得 $kπ-\frac{π}{8}≤x≤kπ+\frac{3π}{8}，k∈z$
函數(shù)f（x）的 單調(diào)遞減區(qū)間為$[kπ-\frac{π}{8}，kπ+\frac{3π}{8}]，k∈z$．

點評 本題考查了三角函數(shù)的周期、最值問題，考查函數(shù)的單調(diào)性問題，是一道中檔題．