Question

14．已知關(guān)于x的函數(shù)y=mx²-x-（m-1）．
（1）m=0時，y=mx²-x-（m-1）是一次函數(shù)；
（2）求證：對任何實數(shù)m，y=mx²-x-（m-1）的圖象與x都有公共點；
（3）若是關(guān)于x的二次函數(shù)y=mx²-x-（m-1）的圖象與x有兩個不同的公共點A、B （點A在點B左邊），圖象頂點為C，且△ABC是等腰直角三角形，求m的值；
（4）是否存在這樣的點P，使得對任何實數(shù)m，y=mx²-x-（m-1）的圖象都經(jīng)過P點？若存在，求出所有P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）若y=mx²-x-（m-1）是一次函數(shù)，則二次項系數(shù)m=0；
（2）分m=0時和m≠0時兩種情況，結(jié)合一次函數(shù)和二次函數(shù)性質(zhì)，可得結(jié)論；
（3）求出AB及頂點C的縱坐標，結(jié)合△ABC是等腰直角三角形，則AB=2|y_c|構(gòu)造方程，解得m的值；
（4）利用特值法確定定點坐標，檢驗后可得結(jié)論．

解答 解：（1）若y=mx²-x-（m-1）是一次函數(shù)，則m=0；
（2）證明：m=0時，y=-x+1與x軸交于點（1，0）
m≠0時，△=（-1）²+4m（m-1）=（2m-1）²≥0
∴對任何實數(shù)m，y=mx²-x-（m-1）的圖象與x都有公共點；
（3）由mx²-x-（m-1）=0得x₁=1，${x_2}=-\frac{m-1}{m}$，
∴AB=|1+$\frac{m-1}{m}$|=|$\frac{2m-1}{m}$|，
且頂點C的縱坐標${y_c}=\frac{-4m（m-1）}{4m}=\frac{{{{（2m-1）}^2}}}{4m}$
∵△ABC是等腰直角三角形
∴AB=2|y_c|即$|{\frac{2m-1}{m}}|=2|{\frac{{{{（2m-1）}^2}}}{4m}}|$
∴m=$\frac{1}{2}$或m=$\frac{3}{2}$，或m=-$\frac{1}{2}$
經(jīng)檢驗m=$\frac{3}{2}$，或m=-$\frac{1}{2}$
（4）由m=0得y=-x+1，m=1得y=x²-x
由$\left\{\begin{array}{l}y=-x+1\\ y={x^2}-x\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=0\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}x=-1\\ y=2\end{array}\right.$對任何實數(shù)m
當x=1時，y=mx²-x-（m-1）=m-1-（m-1）=0
當x=-1時，y=mx²-x-（m-1）=m+1-（m-1）=2
對任何實數(shù)m，y=mx²-x-（m-1）的圖象都經(jīng)過點（1，0）（-1，2）
即所求點P的坐標為（1，0）或（-1，2），
故答案為：0．

點評 本題以命題的真假判斷與應用為載體，考查了一次函數(shù)和二次函數(shù)性質(zhì)，方程思想，存在性問題，難度中檔．