Question

4．已知|$\overrightarrow a|=4，|\overrightarrow b|=3，（2\overrightarrow a-3\overrightarrow b）•（2\overrightarrow a+\overrightarrow b）=61$．
（1）求$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的夾角θ；
（2）若$\vec c=t\vec a+（1-t）\vec b$，且$\vec b•\vec c=0$，求$|{\vec c}$|．

Answer 1

分析 （1）將（2$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow$）•（2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）=61展開求出$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$，代入夾角公式；
（2）根據(jù)條件求出t，得到$\overrightarrow{c}$，兩邊平方可得|$\overrightarrow{c}$|．

解答 解：（1）∵（2$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow$）•（2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）=61，∴4${\overrightarrow{a}}^{2}$-4$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$-3${\overrightarrow}^{2}$=61，解得$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=-6．
∴cos θ=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow|}$=$\frac{-6}{4×3}$=-$\frac{1}{2}$，又0≤θ≤π，∴θ=$\frac{2π}{3}$．
（2）∵$\vec b•\vec c=\vec b•（t\vec a+（1-t）\vec b）=t\vec a•\vec b+（1-t）{\vec b^2}=-15t+9=0$，∴$t=\frac{3}{5}$．
${|{\vec c}|^2}={（\frac{3}{5}\vec a+\frac{2}{5}\vec b）^2}=\frac{108}{25}$，
∴$|{\vec c}|=\frac{{6\sqrt{3}}}{5}$．

點評 本題考查了平面向量的數(shù)量積運算，模長計算，是基礎題．