Question

3．已知函數(shù)f（x）=x²-x，g（x）=lnx．
（1）求函數(shù)y=f（x）-g（x）的極值；
（2）求函數(shù)y=f[xg（x）-2]，x∈[1，e]的值域．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的表達式，利用函數(shù)的導數(shù)為0，得到極值點，然后求解極值．
（2）求出函數(shù)的解析式，利用換元法以及函數(shù)的導數(shù)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求解函數(shù)的最值即可．

解答 解：（1）因為函數(shù)f（x）=x²-x，g（x）=lnx，y=f（x）-g（x）
=x²-x-lnx，所以y′=2x-1-$\frac{1}{x}$=$\frac{（2x+1）（x-1）}{x}$
因為x≥0，所以當0＜x＜1時，y′＜0；當x＞1時，y′＞0．
即函數(shù)y=f（x）-g（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
故當x=1時，函數(shù)y有極小值0，無極大值．
（Ⅱ）函數(shù)y=f[xg（x）-2]=（xlnx）²-5（xlnx）+6，x∈[1，e]，
令u=xlnx，當x∈[1，e]時，u′=lnx+1＞0，所以u=xlnx在[1，e]上單調(diào)遞增，
所以0≤u≤e，y=h（u）=u²-5u+6，
h（u）的圖象的對稱軸u=$\frac{5}{2}$．h（u）在[0，$\frac{5}{2}$]上單減，在（$\frac{5}{2}$，e]上單增．
h（u）_min=h（$\frac{5}{2}$）=-$\frac{1}{4}$，又h（0）=6，h（e）=e²-5e+6，則h（u）_max=6．
所以所求函數(shù)的值域為：[-$\frac{1}{4}$，6]．

點評 本題考查函數(shù)的極值，函數(shù)的值域．導函數(shù)的單調(diào)性，構(gòu)造法以及轉(zhuǎn)化思想的應用，考查分析問題解決問題的能力．