Question

9．已知函數(shù)g（x）=3^x+a•3^-x，x∈R．

（1）若f（x）是R上的偶函數(shù)，求a的值；
（2）若a=0，在給定的坐標(biāo)系中畫出函數(shù)g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{f（x）+1（x＜0）}\\{-x+2（x≥0）}\end{array}\right.$的圖象（不列表）并指出方程g（x）-m=0有兩解時(shí)m的取值范圍；
（3）若a＜0，判斷函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)的單調(diào)性，并加以證明．

Answer 1

分析 （1）若f（x）是R上的偶函數(shù)，則f（-x）=f（x）恒成立，即3^-x+a•3^x=3^x+a•3^-x恒成立，解得a值；
（2）通過a=0，化簡函數(shù)的表達(dá)式，可得函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合可得方程g（x）-m=0有兩解時(shí)m的取值范圍；
（3）利用a＜0，判斷函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)的單調(diào)增函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性的定義直接證明即可．

解答 解：（1）∵f（x）是R上的偶函數(shù)，
∴f（-x）=f（x）恒成立，
∴3^-x+a•3^x=3^x+a•3^-x恒成立，
∴（a-1）（3^x-3^-x）=0恒成立，
∴a-1=0，
解得：a=1；
（2）若a=0，則函數(shù)g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{3}^{x}+1（x＜0）\\-x+2（x≥0）\end{array}\right.$，其圖象如下圖所示：

若方程g（x）-m=0有兩解，則函數(shù)g（x）的圖象與直線y=m有兩個(gè)交點(diǎn)，
由圖可得：m∈（1，2）；
（3）若a＜0，則函數(shù)f（x）在定義域R內(nèi)的單調(diào)增減，理由如下：
任取任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
則0＜3^x₁＜3^x₂，
∴3^x₁-3^x₂＜0，1-$\frac{a}{{3}^{{x}_{1}}•{3}^{{x}_{2}}}$＞0，
f（x₁）-f（x₂）=（3^x₁+a•3^-x₁）-（3^x₂+a•3^-x₂）=（3^x₁-3^x₂）+a（$\frac{{3}^{{x}_{2}}-{3}^{{x}_{1}}}{{3}^{{x}_{1}}•{3}^{{x}_{2}}}$）=（3^x₁-3^x₂）（1-$\frac{a}{{3}^{{x}_{1}}•{3}^{{x}_{2}}}$）＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂），
函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)的是增函數(shù)．

點(diǎn)評 本題考查的知識點(diǎn)是函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的單調(diào)性，數(shù)形結(jié)合思想，方程的根與函數(shù)零點(diǎn)的關(guān)系，難度中檔．