Question

20．已知向量$\overrightarrow{m}$=（sinx，sin（x-$\frac{π}{2}$）），$\overrightarrow{n}$=（cos（x+$\frac{π}{6}$），cosx），函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{m}$•（$\overrightarrow{m}$+$\overrightarrow{n}$）．
（1）求f（x）的值域；
（2）將函數(shù)f（x）的圖象向右平移a個(gè)單位（a＞0），得到函數(shù)g（x）的圖象，若g（x）在x=$\frac{π}{2}$處取得最大值，求a的最小值．

Answer 1

分析 （1）由條件利用兩個(gè)向量的數(shù)量積公式，三角恒等變換，正弦函數(shù)的值域，求得f（x）的值域．
（2）有條件利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，以及正弦函數(shù)的最大值，求得a的最小值．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{m}$•（$\overrightarrow{m}$+$\overrightarrow{n}$）=${\overrightarrow{m}}^{2}$+$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=1+sinx•cos（x+$\frac{π}{6}$）+sin（x-$\frac{π}{2}$）•cosx
=1+sinx（$\frac{\sqrt{3}}{2}$•cosx-$\frac{1}{2}$sinx）-cos²x=1+$\frac{\sqrt{3}}{4}$sin2x-$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}•\frac{1+cos2x}{2}$=$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{2}$sin（2x-$\frac{π}{6}$），
故f（x）的值域?yàn)閇-$\frac{1}{4}$，$\frac{3}{4}$]．
（2）將函數(shù)f（x）的圖象向右平移a個(gè)單位（a＞0），得到函數(shù)g（x）=$\frac{1}{2}$sin（2x-2a-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{4}$ 的圖象，
若g（x）在x=$\frac{π}{2}$處取得最大值，則 π-2a-$\frac{π}{6}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，即a=-kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z，
故a的最小值為$\frac{π}{6}$．

點(diǎn)評 本題主要考查兩個(gè)向量的數(shù)量積公式，三角恒等變換，正弦函數(shù)的值域，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，屬于中檔題．