Question

10．設f（x）是定義域R上的增函數(shù)，?x，y∈R，f（x+y）=f（x）+f（y）-1，且f（3）=3，記a_n=f（n）（n∈N^*），則數(shù)列{a_n}的前n項和S_n=$\frac{n（n+4）}{3}$．

Answer 1

分析 令x=y=1，以及x=1，y=2，結合條件f（3）=3，可得f（1），再令x=n，y=1，結合等差數(shù)列的求和公式，即可得到所求和．

解答 解：令x=y=1，可得f（2）=2f（1）-1，
再令x=1，y=2，可得f（3）=f（1）+f（2）-1=3f（1）-2，
由f（3）=3，可得f（1）=$\frac{5}{3}$，
令x=n，y=1，可得f（n+1）=f（n）+f（1）-1=f（n）+$\frac{2}{3}$，
即為a_n+1-a_n=$\frac{2}{3}$，且a₁=$\frac{5}{3}$，
可得數(shù)列{a_n}為首項為$\frac{5}{3}$，公差為$\frac{2}{3}$的等差數(shù)列，
可得S_n=na₁+$\frac{1}{2}$n（n-1）d=$\frac{5}{3}$n+$\frac{1}{2}$n（n-1）•$\frac{2}{3}$=$\frac{n（n+4）}{3}$．
故答案為：$\frac{n（n+4）}{3}$．

點評 本題考查數(shù)列的求和的求法，注意運用等差數(shù)列的求和公式，同時考查抽象函數(shù)的運用，注意運用賦值法的運用，屬于中檔題．