【題目】若函數(shù)f(x)= sin2x+2cos2x+m在區(qū)間[0, ]上的最大值為6,求常數(shù)m的值及此函數(shù)當(dāng)x∈R時的最小值,并求相應(yīng)的x的取值集合.
【答案】解:f(x)= sin2x+2cos2x+m
= sin2x+1+cos2x+m
=2sin(2x+ )+m+1,
∵x ,∴2x+ ∈[ , ],
sin(2x+ )≤1,
所以函數(shù)f(x)的最大值為3+m,
∴3+m=6,m=3,
∴f(x)=2sin(2x+ )+4,
當(dāng)x∈R時,函數(shù)f(x)的最小值為2,
此時2x+ =﹣ ,
即x=﹣ +kπ(k∈Z)時取最小值.
【解析】先利用兩角和的正弦公式化成標(biāo)準(zhǔn)形式,根據(jù)x的范圍求函數(shù)的最大值,然后讓最大值等于6,求出m的值;當(dāng)x∈R時,根據(jù)正弦函數(shù)求函數(shù)的最小值及取到最小值時的x的值.
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解二倍角的余弦公式的相關(guān)知識,掌握二倍角的余弦公式:,以及對三角函數(shù)的最值的理解,了解函數(shù),當(dāng)時,取得最小值為;當(dāng)時,取得最大值為,則,,.
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【題目】設(shè)函數(shù), 的圖象在點處的切線與直線平行.
(1)求的值;
(2)若函數(shù)(),且在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù),求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】(本小題滿分8分) 已知拋物線C:y=-x2+4x-3 .
(1)求拋物線C在點A(0,-3)和點B(3,0)處的切線的交點坐標(biāo);
(2)求拋物線C與它在點A和點B處的切線所圍成的圖形的面積.
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【題目】在四棱錐中,底面為平行四邊形, , , , 點在底面內(nèi)的射影在線段上,且, , 為的中點, 在線段上,且.
(Ⅰ)當(dāng)時,證明:平面平面;
(Ⅱ)當(dāng)平面與平面所成的二面角的正弦值為時,求四棱錐的體積.
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【題目】先后2次拋擲一枚骰子,將得到的點數(shù)分別記為, .
(1)求直線與圓相切的概率;
(2)將, ,5的值分別作為三條線段的長,求這三條線段能圍成等腰三角形的概率.
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【題目】樣本a1 , a2 , a3 , …,a10的平均數(shù)為 ,樣本b1 , b2 , b3 , …,b10的平均數(shù)為 ,那么樣本a1 , b1 , a2 , b2 , …,a10 , b10的平均數(shù)為( )
A.+
B.( + )
C.2( + )
D.( + )
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【題目】給出下列命題:
①函數(shù) 是奇函數(shù);
②存在實數(shù)x,使sinx+cosx=2;
③若α,β是第一象限角且α<β,則tanα<tanβ;
④ 是函數(shù) 的一條對稱軸;
⑤函數(shù) 的圖象關(guān)于點 成中心對稱.
其中正確命題的序號為 .
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【題目】咖啡館配制兩種飲料,甲種飲料分別用奶粉、咖啡、糖。乙種飲料分別用奶粉、咖啡、糖。已知每天使用原料限額為奶粉、咖啡、糖。如果甲種飲料每杯能獲利元,乙種飲料每杯能獲利元。每天在原料的使用限額內(nèi)飲料能全部售出,每天應(yīng)配制兩種飲料各多少杯能獲利最大?
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【題目】某貨輪勻速行駛在相距海里的甲、乙兩地間運輸貨物,運輸成本由燃料費用和其他費用組成.已知該貨輪每小時的燃料費用與其航行速度的平方成正比(比例系數(shù)為),其他費用為每小時元,且該貨輪的最大航行速度為海里/小時.
(1)請將從甲地到乙地的運輸成本(元)表示為航行速度(海里/小時)的函數(shù);
(2)要使從甲地到乙地的運輸成本最少,該貨輪應(yīng)以多大的航行速度行駛?
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