Question

11．已知函數(shù)f（x）=x²-2kx-3k+2（k∈R）．
（Ⅰ）若f（x）為偶函數(shù)，用定義法證明函數(shù)y=f（x）-2x在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)；
（Ⅱ）若f（x）在區(qū)間（-∞，0]上有最小值-2，求k的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出f（x）的對稱軸，由偶函數(shù)的定義可得k=0，運(yùn)用單調(diào)性的定義，注意作差，變形和定符號、下結(jié)論幾個(gè)步驟；
（Ⅱ）求出對稱軸x=k，討論k≤0時(shí)，k＞0時(shí)，結(jié)合單調(diào)性，解方程即可得到所求k的值．

解答 解：（Ⅰ）二次函數(shù)f（x）的對稱軸方程為x=k，
因?yàn)閒（x）為R上的偶函數(shù)，所以對稱軸為y軸，則k=0．
所以y=f（x）-2x=x²-2x+2，令g（x）=x²-2x+2，
任取x₁，x₂，且1≤x₁＜x₂，
則$g（{x_1}）-g（{x_2}）=x_1^2-2{x_1}-x_2^2+2{x_2}$=$（x_1^2-x_2^2）-2（{x_1}-{x_2}）$
=（x₁-x₂）（x₁+x₂-2），
因?yàn)?≤x₁＜x₂，所以x₁-x₂＜0，x₁+x₂-2＞0，
所以g（x₁）-g（x₂）＜0，即g（x₁）＜g（x₂），
所以g（x）在[1，+∞）為增函數(shù)，
即函數(shù)y=f（x）-2x在區(qū)間[1，+∞）是增函數(shù)，得證；
（Ⅱ）二次函數(shù)f（x）開口向上，對稱軸為直線x=k，而x∈（-∞，0]，
則①k≤0時(shí)，$f{（x）_{min}}=f（k）={k^2}-2{k^2}-3k+2=-2$，
解得k=-4或k=1，又此時(shí)k≤0，所以k=-4．
②k＞0時(shí)，f（x）在（-∞，0]上單調(diào)遞減，f（x）_min=f（0）=-3k+2=-2，
解得$k=\frac{4}{3}$．
綜上所述：k的值為-4或$\frac{4}{3}$．

點(diǎn)評 本題主要考查二次函數(shù)的單調(diào)性的證明和運(yùn)用，考查分類討論的思想方法，以及運(yùn)算能力，屬于中檔題．